×

zbMATH — the first resource for mathematics

Sur les familles de fonctions analytiques de plusieurs variables. (French) JFM 51.0270.02
Es werden die Punktmengen untersucht, in denen eine in einem Bereich \(B\) definierte Familie regulärer analytischer Funktionen von zwei komplexen Variabein aufhört, normal zu sein. Es zeigt sich, daß diese Punktmengen alle die Eigenschaften haben, die Hartogs und E. E. Levi für die Singularitätenmengen analytischer Funktionen von zwei Variablen gefunden haben. Einige Anwendungen auf Reihen und Nullstellen schließen die Arbeit.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI
References:
[1] Voir Acta Matematica, tome 32.
[2] Voir Annali di Matematica, tomes 17 et 18, série III.
[3] On précisera cette definition dans la suite.
[4] Journal de Jordan 1918. · JFM 46.0830.03
[5] Annales de l’Ecole Normale Supérieure 1919, 1920–1921.
[6] Un pointx 1 0 ...x n 0 est “point d’indétermination” def(x 1,...x n ), si,au voisinage de ce point on peut écrire \(f = \frac{{P(x_1 ,x_2 ,...x_n )}}{{Q(x_1 ,x_2 ,...x_n )}}\) ,P etQ étant holomorphes autour de ce point, et s’annulant simultanément en ce point sans que les continus définis au voisinage du point par les équationsP=0 etQ=o soient identiques.
[7] Une fonctionF(x,y), holomorphe en (x o,y o) est dite divisible parF 1 (x,y), holomorphe enx o ,y o , si on a l’identitéF(x,y)=F 1(x,y). F2(x,y),F 2 (x,y) étant holomorphe en (x o ,y o ).
[8] Voir pour lesfamilles normales de fonctions d’une variable le livre “Leçons sur les fonctions uniformes à point singulier essentiel isolé” parG. Julia (Gauthier-Villars, Paris 1924) où on trouvera, Chapitre 3, une bibliographie detaillée; l’introduction de ces familles normales est due, comme on sait, àM. Montel. Dans la suite, l’ouvrage précédent sera désigné par les lettres F.U.
[9] Un domaine fermé est un domaine qui contient tous ses points-frontière.
[10] Pour le sens de cette expression, voir No. 7 (2o).
[11] On désigne para pq (r) le coefficient dex p y q dansf r r (x,y).
[12] P étant le point de coordonnées (x,y) on écrira souvent, pour abréger,f (P) au lieu def(x,y).
[13] Cela veut dire qu’au voisinage de tout pointP deF(x,y)=0, il y aura, dès quen surpasse un certain rang, des points de tous les continusf n (x,y)=0; ponr préciser, dans toute hypersphère de centreP, de rayon \(\epsilon\) suffisamment petit, il y aura, pourn>-N(\(\epsilon\)), des points de tous les continusf n (x,y)=0.
[14] Voir p. ex.E. Picard, Traité d’Analyse, tome 2, p. 261–265 de la 2e édition.
[15] Voir, pour la démonstration, le livre déja cité, F. U. pages 69 et 70, et, spécialement, la remarque 1o de la page 70.
[16] Le lecteur qui se reportera au Mémoire deE. E. Levi inséré aux Annali di Matematica, tome 17, série 2, constatera un parallélisme absolu entre les théorèmes de ce chapitre et ceux que E. E. Levi met à la base de son mémoire,les points de E remplaçant ici les points singuliers essentiels du mémoire de E. E. Levi.
[17] Le raisonnement qu’on vient de faire peut se répéter mot pour mot si on remplace la circonférenceC’ par un anneau circulairequelconque \(\eta\)1 |y| \(\eta\)2, de centreO’, et intérieur au cercle |y|<r. Chaque pointy’ de l’anneau (domaine fermé) est le centre d’un petit cercle \(\gamma\)y’, [|y’|’] auquel correspond un cerle |x| de façon que la famille soit normale dans |x|, |y’|’; et ’ dependent dey’. L’anneau considéré pourra être recouvert à l’aide d’unnombre fini de cercles \(\gamma\)y’; considérant les cercles |x|, en nombre fini, qui correspondent à ces \(\gamma\)y’, on prendra le plus petit d’entre eux, soit \(\xi\) son rayon. On pourra alors dire qu’ à tout anneau \(\eta\)1 \(\eta\)2 intérieur à |y|<r, correspond un rayon \(\xi\) tel que la famillef soit normale dans le domaine |x|, \(\eta\)1 |y| \(\eta\)2.
[18] Cela implique quey n (x) n’a dansC, que des points critiques algébriques comme points singuliers.
[19] On suppose ici la résolution faite en fonction dey, ce qui est possible car \(\xi\). Si on avait \(\xi\)=0, \(\eta\), il faudrait prendre \(\sigma\) sous la formey=a(x) et on trouveraita=0, parce qu’alors la caractéristique plane tangente enP o à l’hypersphèreOP o seraity=\(\eta\).
[20] Par \(\left( {\frac{{\partial {\mathbf{ }}F}}{{\partial {\mathbf{ }}y_1 }}} \right)_{P_0 } \) on désigne, en abrégé, l’expression \(\frac{{\partial {\mathbf{ }}F}}{{\partial {\mathbf{ }}y_1 }}(\eta _1 ,\eta _2 )\) .
[21] E. E. Lévi prend une caractéristique plus généralex=a(y)+b(y) 2+...et montre qu’on peut choisira etb de façonqu’au voisinage de P o elle ait le seul pointP 0 commun avec l’hypersphère; le calcul ne differe du précédent que par une inégalité à laquelle doit satisfaire |b|. Ici on a prisb=0.
[22] C’est visible, car \(\sigma\) est contenue dans l’hyperplan \(\xi _1 (x_1 - \xi _1 ) + \xi _2 (x_2 - \xi _2 ) + \eta _1 (y_1 - \eta _1 ) + \eta _2 (y_2 - \eta _2 ) = o,\) tangent enP 0 à l’hypersphère, et cet hyperplan est normal au vecteur \(\overline {OP_o } ,\) , tandis que \(\pi\) contient le vecteur \(\overline {OP_o } ,\) .
[23] En effet, les équations (3) qui déterminenta 1, eta 2 s’ecrivent en une seule: \(\eta\)+\(\xi\)a’=0,a’=a 1a2 valeur conjuguée dea. Si l’on avait \(\xi\)=a\(\eta\) on tirerait de là \(\eta\)[1+|a|2]=0, par conséquent \(\eta\)=0, et par suite \(\xi\)=a\(\eta\)=0 ce qui est impossible.
[24] Par là les familles de fonctions de 2 variables se distinguent des familles de fonctions d’une variable: on sait en effet qu’une famille de fonctions de z peut être normale en tout point intérieur à un cercle, sauf au centre, à condition de contenir une suite qui tende vers l’infini en tout point distinct du centre, tout en restant bornée au centre.
[25] En ce qui concerne les discontinuités possibles de la fonctionRy, on pourra se reporter au mémoire deM. Hartogs (Math. Annalen t. 62, § 7) dont les résultats s’appliquent immédiatement ici en considérant la famille des \(S_n (x,y) = \sum\limits_{k = 0}^n {fk(y) \cdot x^k } \) , associée au développement \(S(x,y) = \sum\limits_0^\infty {fk(y) \cdot x^k } \) , que M. Hartogs considère dans son mémoire.
[26] L’expression, “voisin deP” ou “au voisinage deP” qu’on va souvent employer dans la suite, veut dire “dans une certaine hypersphère de centreP, de rayon assez petit convenablement choisi”, ou encore “dans un certain hypereylindre de centreP défini par |x|<, |y|<’, et ’ assez petits”.
[27] Sitzungsberichte der M. P. Klasse der Kgl. Bayer. Akademie der Wissenschaften Bd. 36, 1906, Heft I: “Einige Folgerungen aus der Cauchyschen Integralformel bei Funktionen mehrerer Veränderlichen” vonF. Hartogs Page 231, § 3.
[28] Lesr n seront des nombres positifs choisis arbitrairement sous la seule condition qu’ils tendent vers zéro quandn devient infini.
[29] Si l’on avaitC[\(\phi\)]>0 surS 0, la famille serait normaledans R 2, la démonstration étant tout à fait analogue à celle qui précède.
[30] Comme on a évidemment \(f_v (y) = \tfrac{I}{{v!}}\left[ {\frac{{\partial ^v }}{{\partial x^v }}f(x,y)} \right]_{x = 0} \) et comme, à cause des hypothèses faites,R yo reste supérieur à une certaine limite positive dans tout domaine intérieur à \(\Delta\)’, il est clair que \(\frac{{\partial ^v }}{{\partial x^v }}f(x,y)\) est holomorphe pour[x=0, y=y 0 ],y 0 intérieur à \(\Delta\)’, done lesf v (y) sont holomorphes dans tout domaine intérieur à \(\Delta\)’.
[31] V. Hartogs, M. A., t. 62, § 2, ou bien la fin du no 50 du présent mémoire et le no 51.
[32] Ce qui est intéressant ici, c’est que lesy n ne sont pas supposées uniformes et même que le nombre de leurs branches peut augmenter indéfiniment avecn. Posons, par exemple, n (x)==e -n2 \(\psi\) n (x), les \(\psi\) n (x) etant <A et holomorphes dans |x 0| et considéronsf n (x,y)==[y-\(\eta\)(x)] n - n (x)=o, \(\eta\)(x) étant holomorphe. On a \(y_n (x) = \eta (x) + e^{ - n} [\psi _n (x)]^{\tfrac{1}{n}} \) . On voit que \([\psi _n ]^{\tfrac{1}{n}} \) est uniformément bornée et quey n (x) tend uniformément vers \(\eta\)(x). Si \(\psi\) n a des zéros dans |x|<\(\epsilon\), on voit quey n peut avoir des points critiques d’ordren de plus en plus élevé.
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.