La notion de différentielle dans l’analyse générale. (French) JFM 51.0312.03

Fréchet, M.

Annales Ecole norm. (3) 42, 293-323 (1925).

Verf. beschäftigt sich in den drei Arbeiten mit stetigen Abbildungen \(M=F(m)\) eines affinen topologischen Raumes (Definition ähnlich wie in C. R. 180, 419-421; F. d. M. 51, V. Abschn. Kap. 2.) auf einen anderen derartigen Raum; die Stetigkeit ist im Sinne des absoluten Betrages eines einem Punktepaar zugeordneten Vektors zu verstehen. Solche Funktionen, zu denen z. B. die Funktionale gehören, nennt Verf. in der ersten C. R.-Note und in den Annales Ecole norm. in einem Punkte differenzierbar, wenn sich bei Zuwächsen \(\varDelta m\) des Arguments die Zuwächse \(\varDelta M\) von einer linearen Funktion \(\psi(\varDelta m)\) des Zuwachses \(\varDelta m\) um etwas unterscheiden, was dem absoluten Betrage nach stärker gegen Null geht als der absolute Betrag des Zuwachses: \[ \frac{|\;\varDelta F(m)-\varPsi(\varDelta m)\;|} {|\;\varDelta m\;|}\to0 \] oder in Differentialform geschrieben: \[ dF(m)=\psi(d\,m). \] Es gilt dann (Annales Ecole norm.) eine Verallgemeinerung des Satzes über mittelbare Funktionen und des Differentialkriteriums für konstante Funktionen. An zahlreichen Beispielen wird der Begriff des Differentials erläutert. Auch Funktionen mehrerer Variablen werden in Betracht gezogen, und ihr totales Differential wird untersucht. Schließlich werden Differentiale höherer Ordnung mittels höherer Differenzenbildungen eingeführt.
In der zweiten C. R.-Note und im ersten Teil der Arbeit in den Annales Ecole norm. beschäftigt sich Verf. mit polynomialen Abbildungen \(F(m)\), d. h. Abbildungen, deren Differenzenbildung einer gewissen Ordnung identisch verschwindet. Unter einschränkenden Voraussetzungen über die zugrunde liegenden Räume wird dann in der C. R.-Note u. a. eine Verallgemeinerung des Weierstraßschen Approximationssatzes aufgestellt. (V 2.)

Reviewer: Freudenthal, H., Dr. (Amsterdam)

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Kapitel 7. Integralgleichungen. Funktionen unendlich vieler Veränderlicher. Funktionalanalysis.