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Über die Entwicklung von Funktionen zweier komplexen Veränderlichen nach Laméschen Funktionen. (German) JFM 51.0342.03

Verf. geht von der Entwicklung von \(\dfrac1{(\zeta_1-\zeta)(z_1-z)}\) nach Laméschen Funktionen aus. Sind \(\zeta\) und \(z\) reell, \(\zeta_1\) und \(z_1\) komplex, so hat man im wesentlichen die Entwicklung einer reellen Funktion nach Laméschen Funktionen, deren Möglichkeit und gleichmäßige Konvergenz feststeht. Es handelt sich also, um den Gültigkeitsbereich der Entwicklung in der komplexen \(\zeta\)- und \(z\)-Ebene festzustellen, nur noch um eine Konvergenzfrage, zu deren Beantwortung asymptotische Darstellungen zweckmäßig verwendet werden. Da die Laméschen Funktionen von Wurzeln gewisser algebraischer Gleichungen abhängen, die sich nicht asymptotisch lösen lassen, so daß man nur über die Größenordnung der Wurzeln etwas aussagen kann, so treten bei dem vorliegenden Problem besondere Schwierigkeiten auf. Es gelingt aber, die Konvergenzgebiete genau festzulegen. (IV 3 D, IV 4, IV 6 B.)

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References:

[1] F. Lindemann, Entwicklung der Funktionen einer komplexen Veränderlichen nach Laméschen Funktionen und nach Zugeordneten der Kugelfunktionen, Math. Annalen19 (1881). S. 323-386. · JFM 13.0410.01
[2] E. Hilb, Beiträge zur Theorie der Laméschen Funktionen, Diss. München 1903. · JFM 35.0491.02
[3] Vgl. l. c. S. 361 ff.
[4] O. Volk, Über die Entwicklung von Funktionen einer komplexen Veränderlichen nach Funktionen, die einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit einem Parameter genügen, Math. Annalen86 (1922), S. 296-316. · JFM 48.0520.01
[5] Vgl. E. Heine, Handbuch der Kugelfunktionen1 (1878), S. 472 ff.
[6] Die Richtigkeit dieses Satzes ist eine Folge des analogen Problems für reelle Veränderliche; vgl. E. Hilb, Die Reihenentwicklungen der Potentialtheorie, Math. Annalen63 (1907), S. 38-53; A. C. Dixon, Harmonic expansions of functions of two variables, Proceed. of the Lond. math. Society (2),5 (1907), S. 411-478. · JFM 37.0783.09
[7] Vgl. Anmerkung 6). · JFM 37.0783.09
[8] Vgl. § 4.
[9] Vgl. die in Anmerkung 4), genannte Arbeit des Verfassers, S. 299 ff. · JFM 48.0520.01
[10] Bei negativen Werten von ? bleibt das Folgende ebenfalls gültig, wenn man nur ? durch-? ersetzt.
[11] Die Indizesz und ? an ? sind angefügt, um die entsprechende Ebene anzudeuten.
[12] Vgl. E. Hilb, Beiträge zur Theorie der Laméschen Funktionen. Diss-München 1903, S. 10 ff.
[13] Vgl. F. v. Lindemann,l. c., S. 333.
[14] Vgl. Ch. Jaccottet, Über die allgemeine Reihenentwicklung der Potentialfunktion nach Laméschen Produkten. Diss. Göttingen 1895, S. 9 ff.
[15] Vgl. E. Heine,l. c., S. 380.
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