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Probleme aus der Theorie der Wärmeleitung. II: Der lineare Wärmeleiter mit verschwindender Anfangstemperatur. Die allgemeinste Lösung und die Frage der Eindeutigkeit. (German) JFM 51.0365.08
Die behandelte Randwertaufgabe lautet: Es soll \(\displaystyle \frac{\partial^2 \varPhi}{\partial x^2} \frac{\partial \varPhi}{\partial t} = 0\) im Halbstreifen \(0 < x <c, t > 0\) integriert werden unter folgenden Randbedingungen: 1. \(\varPhi(x_0,t) \to \varPhi(x_0)\) für \(t \to 0\) und für jedes \(x_0\;(0 < x_0 < c)\), für welches \(\varPhi(x)\) stetig ist. 2. \(\varPhi(x_0,t) \to A(t_0)\) für \(x \to 0\), und zwar an jeder Stetigkeitsstelle \(t_0\) von \(A(t)\;(t_0 > 0)\). 3. \(\varPhi(x_0,t) \to B(t_0)\) für \(x\to c\), und zwar an jeder Stetigkeitsstelle \(t_0\) von \(B(t)\). Dabei sind \(A(t)\) und \(B(t)\) gegebene, für \(t>0\) definierte und in jedem endlichen Intervall Riemann-integrable Funktionen; überdies konvergieren ihre bis zum Nullpunkt erstreckten (uneigentlichen) Integrale absolut. \(\varPhi(x)\) ist für \(0 < x < c\) definiert, in jedem Teilintervall integrabel, ihr bis zu \(x = 0\) und \(x = c\) erstrecktes (uneigentliches) Integral konvergiert absolut.
Die Aufgabe wird dadurch gelöst, daß sie vermittelst LaplaceTransformationen in folgendes, auf eine gewöhnliche Differentialgleichung bezügliches, Problem übergeführt wird: Es soll \(\displaystyle \frac{d^2\varphi}{dx^2} -s\varphi +\varPhi(x) =0\) unter den Randbedingungen \(\varphi(0) = a\), \(\varphi(c)=b\) integriert werden.
Die beiden vorliegenden Mitteilungen I und II erledigen den Fall \(\varPhi(x) \equiv 0\). Zunächst wird unter gewissen einschränkenden Annahmen die Lösung ermittelt und gezeigt, daß sie mit der klassischen (Riemann u. a.) übereinstimmt. Hinterher (2. Mitteilung) wird nachgewiesen, daß die gefundene Lösung (auch nach Aufhebung der früher gemachten Einschränkungen) die Randwertaufgabe löst; ein Nachweis, der bisher noch nicht geführt zu sein scheint. Weiter wird gezeigt, daß die Lösung der Randwertaufgabe unendlich vieldeutig ist, falls nicht vorausgesetzt wird, daß \(\varPhi(x,t)\) sich gleichmäßig in \(x\) der Null nähert für \(t\to 0\); eine Voraussetzung, die bei den üblichen Eindeutigkeitsbeweisen vielfach stillschweigend gemacht wird. Die benützte Methode (Vereinfachung eines Problems mittelst Laplace-Transformation) ist sehr weitreichend, die behandelte Randwertaufgabe dient als ein einfachstes typisches Beispiel. (IV 7.)

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References:
[1] Math. Zeitschr.22 (1925), S. 285-292. Im Folgenden mit M. I zitiert.
[2] Vgl. z. B. Riemann-Weber, Die partiellen Differentialgleichungen der mathematischen Physik 2, 4. Aufl. 1901, S. 114-118, wo ein Beweis für unsere folgenden Behauptungen a) und b) überhaupt nicht, für c) nur in unzulänglicher Weise erbracht wird.
[3] Vgl. z. B. Poincaré, Théorie analytique de la propagation de la chaleur, Paris 1895, S. 27-30; Riemann-Weber, l. c. 3) Die partiellen Differentialgleichungen der mathematischen Physik 2, 4. Aufl. 1901, S. 86-88; Bieberbach, Theorie der Differentialgleichungen, Berlin 1923, S. 313.
[4] Bernstein und Doetsch, Die Integralgleichung der elliptischen Thetanullfunktion. Dritte Note, Nachr. v. d. Ges. d. Wiss. zu Göttingen, math.-phys. Kl. 1922, S. 32-46 [S. 44-46]. · JFM 48.0442.01
[5] Lord Kelvin, Math. and phys. papers II, p. 61.
[6] Lamé, Lecons sur la théorie analytique de la chaleur, Paris 1861, p. 109. Lord Kelvin, l. c. 8). Lord Kelvin, Math. and phys. papers II, p. 61.
[7] Cesàro, Sur un problème de propagation de la chaleur, Acad. royale de Belg., Bull. de la cl. d. sciences, Bruxelles 1902, p. 387-407.
[8] Bernstein und Doetsch, Die Integralgleichung usw. Vierte Note, Nachr. v. d. Ges. d. Wiss. zu Göttingen, math.-phys. Kl. 1922, S. 47-52 [S. 48].
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