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Theory of statistical estimation. (English) JFM 51.0385.01
Eine beobachtete Verteilung \(\varphi(x)\) wird als zufällige Auswahl aus einer hypothetischen unendlich großen Population aufgefaßt. Eine statistische Maßzahl ist eine Funktion der Beobachtungen zur Schätzung einer Verteilungskonstanten. Sie heißt wirkungsvoll, wenn sie mit wachsender Größe der Auswahl sich dieser als Grenzwert nähert. Bei vielen Maßzahlen strebt die Verteilung mit wachsender Größe der Auswahl zur Gaußschen Form. Der Wirkungsgrad zweier Maßzahlen wird definiert als der Quotient ihrer Streuungen. Er stellt den Prozentsatz der Beobachtungen dar, der durch eine statistische Maßzahl, verglichen mit einer anderen, bei großen Auswahlen verwendet wird. Die Korrelation zwischen zwei sinnvollen statistischen Maßzahlen strebt mit wachsenden Versuchen nach Eins. Die Korrelation zwischen einer sinnvollen Maßzahl und einer Schätzung mit dem Wirkungsgrad \(E\) strebt nach \(\sqrt E\). Wirkungsvolle Maßzahlen dürfen keine Schätzungsfehler von der Größenordnung der bei zufälliger Auswahl entstehenden Fehler haben. Dies beeinträchtigt die üblichen Kriterien der Güte der Anpassung. Zur Ableitung einer wirkungsvollen statistischen Maßzahl \(k\), falls eine solche existiert, dient die Methode der maximalen Eignung. Danach erhält man eine Schätzung für eine Verteilungskonstante \(k\) aus \(L =\varSigma \dfrac{\partial \log\varphi(x)}{\partial k}=0\). Ausgehend von einer beliebigen Maßzahl gelangt man so durch sukzessive Approximation zu einer wirkungsvollen. Die innere Genauigkeit einer Verteilung wird definiert als der \(n\)-fache reziproke Wert der Streuung einer wirkungsvollen statistischen Maßzahl \(k\). Sie wird berechnet als \[ \int\dfrac{1}{\varphi (x)}\biggl(\dfrac{\partial \varphi }{\partial k}\biggr)^2\,dx. \]
Bei endlichen Auswahlen sind die verschiedenen möglichen wirkungsvollen statistischen Maßzahlen nicht mehr äquivalent. Wenn \(\vartheta\) ein in der Verteilung auftretender Parameter und \(T_1\) eine wirkungsvolle Maßzahl zu einer Schätzung, \(T_2\) eine andere Maßzahl ist, so muß die Verteilung \(f(\vartheta, T_1, T_2)\) derart sein, daß für gegebene \(T_1\) die Verteilung von \(T_2\) unabhängig ist von \(\vartheta\). So ist z. B. das arithmetische Mittel eine wirkungsvolle Maßzahl; für bestimmte Verteilungen auch der größte beobachtete Wert. Für endliche Auswahlen und nicht normale Verteilungen der Maßzahlen wird der Wirkungsgrad einer statistischen Maßzahl definiert als das Verhältnis der inneren Genauigkeit ihrer zufälligen Auswahlverteilung zu dem Maß der Information in den zugrundeliegenden Beobachtungen. Maßzahlen, die für große Auswahlen wirkungsvoll sind, können für endliche Auswahlen relativ wirkungslos sein, und der Wirkungsgrad kann sich seinem Endwert so langsam annähern, daß selbst Auswahlen von je 100 noch keinen genügenden Wirkungsgrad ergeben.
Wenn die Auswahlen, die für ein bestimmtes \(\vartheta\) denselben Wert von \(L\) haben, für andere \(\vartheta'\) einen anderen Wert besitzen, existiert kein wirkungsvolles statistisches Maß. Mit der Bestimmung einer Maßzahl ist dann ein Verlust an Beobachtungsmaterial verknüpft.

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