Relation between the critical points of a real function of \(n\) independent variables. (English) JFM 51.0451.01

Morse, M.

Trans. Am. Math. Soc. 27, 345-396 (1925).

Die Arbeit steht in enger Beziehung zum Minimaxprinzip von G. D. Birkhoff [Trans. Am. Math. Soc. 18, 199–300 (1917; JFM 46.1174.01)]. Als kritische Punkte einer Fläche \(z= f(x,y)\) werden nämlich die Punkte bezeichnet, in denen die Tangentialebene dieser Fläche parallel zur \(xy\)-Ebene ist. Verf. nimmt als Definitionsbereich von \(f(x,y)\) ein beschränktes Gebiet \(G\), dessen Rand aus endlich vielen geschlossenen Kurven besteht, die keinen Punkt gemein haben und überall stetige Tangenten besitzen. Über die Funktion \(f(x,y)\) werden neben gewissen Voraussetzungen über Existenz und Verhalten der Ableitungen Annahmen gemacht, aus denen die Existenz von endlich vielen kritischen Punkten folgt. Bezeichnet \(R\) den Zusammenhang von \(G\), \(M_0\) die Anzahl der relativen Minima, \(M_2\) die der relativen Maxima und \(M_1\) die der hyperbolischen kritischen Punkte, so gilt nach dem Verf. die Relation \[ M_0-M_1+M_2=2-R \] Verf. stellt weiter die analogen Relationen für Funktionen von \(n\) Variabeln auf. (IV 15.)

Reviewer: Kamke, E., Prof. (Tübingen)

MSC:

58E05

Abstract critical point theory (Morse theory, Lyusternik-Shnirel’man theory, etc.) in infinite-dimensional spaces

JFM Section:

Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 2. Topologie.

Citations:

JFM 46.1174.01