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Concerning the prime parts of a continuum. (English) JFM 51.0461.02

Der Begriff des “Primteils” sowie Entfernungs- und Stetigkeitsdefinition für den Raum der Primteile eines Kontinuums sind von H. Hahn [Sitzungsber. Wien 130, 217–250 (1921; JFM 48.0654.01)] eingeführt worden; Hahn hat in der genannten Arbeit bewiesen, daß die Primteile eines zwischen zwei Punkten irreduziblen Kontinuums topologisches Bild einer Strecke sind. Ziel der vorliegenden Arbeit ist der Beweis des folgenden Satzes: Jedes beschränkte Kontinuum im \(n\)-dimensionalen euklidischen Raum, das mehr als einen Primteil enthält, ist, als Menge seiner Primteile aufgefaßt, eindeutiges stetiges Bild einer Strecke.
Hauptteil des Beweises ist der Satz: Die Menge der Primteile eines Kontinuums ist zusammenhängend im Kleinen.
Weitere Untersuchung der Limeseigenschaften des Raumes der Primteile führt zu dem Resultat, daß hier ein Fréchetscher kompakter normaler \(\mathfrak B\)-Raum vorliegt. Der Hahnsche Satz (Sitzungsberichte Wien 123 (1914), 1-57), der besagt, daß in einem solchen Raum jedes kompakte, im Kleinen zusammenhängende Kontinuum eindeutiges, stetiges Bild einer Strecke ist, ist also auf den ganzen Raum der Primteile anwendbar.

MSC:

54F15 Continua and generalizations

Citations:

JFM 48.0654.01
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References:

[1] Sitzungsber. der Akad. der Wissensch. in Wien, Math.-Naturw. Klasse130 (1921), pp. 217-250.
[2] See H. Hahn,, (1914), p. 319.
[3] The continuumM is said to beconnected im kleinen at the pointP if for every positive number e there exists a positive number ?Pe such that every point whose distance fromP is less than ?Pe lies in a connected subset ofM which containsP and is of diameter less thane. Anirregular point ofM is a point at whichM is not connected im kleinen. Cf. H. Hahn, Jahresber. der Deutschen Math.-Ver.23 (1914), p. 319. Also S. Mazurkiewicz, Sur les lignes de Jordan Fund. Math.1 (1920), pp. 166-209 and earlier papers, in Polish, referred to therein.
[4] A set of prime partsK is said to beseparable if it contains a subset \(\bar K\) such that every element ofK either belongs to \(\bar K\) or is a limit element of \(\bar K\) . Cf. M. Fréchet, Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rendic. del Circ. Mat. di Palermo22 (1906), p. 23.
[5] Trans. of the Am. Math. Soc.17 (1956), p. 131-164. This paper will be referred to as F. A.
[6] Cf. Theorem 15 of F. A.
[7] Am. Journ. of Math.33 (1911), p. 308.
[8] Cf. my paper Concernig simple continuous curves, Trans. of the Am. Math. Soc.21 (1920) p. 340. Concerning the relation of this definition to definitions given by Janiszewski and Sierpinski, sec the footnote on p. 340.
[9] Cf. my paper Concerning the cut-points of continuous curves and of other closed and connected point sets, Proc. of the Nat. Acad. of Sciences9 (1923), pp. 101-106. Also S. Mazurkiewicz, Un théorème sur les lignes de Jordan, Fund. Math.2 (1921); pp. 119-130.
[10] A space is said to be compact if every infinite set of distinct elements belonging to it has at least one limit element. Cf. M. Fréchet, Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rendic. del Circ. Mat. di Palermo22, (1906), pp. 1-64. · doi:10.1007/BF03018603
[11] See E. W. Chittenden and A. D. Pitcher, On the theory of developments of an abstract class in relation to the calcul fonctionnel, Trans. of the Am. Math. Soc.20 (1919), pp. 213-233. For a definition of the phrase Class (V) normal, see Fréchet, loc. cit. Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rendic. del Circ. Mat. di Palermo22 (1906), p. 23. · doi:10.1090/S0002-9947-1919-1501123-1
[12] Mengentheoretische Charakterisierung der stetigen Kurve, Sitzungsber. der Akad. der Wissensch. in Wien, Math.-Naturw. Klasse,123 (1914), pp. 1-57.
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