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Lezioni sulla teoria geometrica delle equazioni e delle funzioni algebriche. Vol. III. Pubblicate per cura del O. Chisini. (Italian) JFM 51.0508.03
Bologna: Zanichelli. 593 p. (1924).
Das Buch ist die Fortsetzung der beiden ersten Bände (1915, 1918; JFM 46.0941.11) und enthält die Theorie der algebraischen Kurven und Funktionen einer Veränderlichen.
Aus dem Inhalt:
Kap. I. Die linearen Reihen auf einer Kurve. Einleitung. Die Involutionen \(g^1_n\) auf einer Kurve. Note über die rationalen Funktionen auf einer Riemannschen Fläche. Die linearen Reihen \(g^r_n\). Die vollständige Reihe und die Normalkurven. Addition und Subtraktion der Reihen. Kurven vom Geschlecht 1. Die Jacobischen Reihen und die kanonische Reihe. Ergänzungen; analytische Entwicklungen und Verallgemeinerungen. Anzahl der aus \(r+1\) Punkten bestehenden gemeinsamen Punktgruppen einer Reihe \(g^r_n\) und einer Reihe \(g^1_m\). Dimension der linearen Reihen; der Riemann-Rochsche Satz. Hyperelliptische Kurven. Kanonische Kurve. Das Problem der speziellen Reihen; die Brill-Noetherschen und die Riemannschen Normaltypen.
Kap. II. Die Geometrie auf einer ebenen Kurve und die Cremonaschen Transformationen; geschichtliche Entwicklung der Gedanken. Konstruktion der vollständigen Reihe auf einer ebenen Kurve, die keinen mehrfachen Punkt hat. Die vollständige Reihe auf einer ebenen Kurve mit mehrfachen Punkten; die adjungierte Kurve. Der Riemann-Rochsche Satz; Note über eine neue Entwicklung der Theorie nach Severi. Die Geometrie auf einer Kurve in ihrer geschichtlichen Entwicklung, von der projektiven Geometrie zur Geometrie der birationalen Transformationen. Ebene Cremonasche Transformationen. Invarianten der Kurve in bezug auf ebene Cremonasche Transformationen. Note über die Reduktion der linearen Systeme ebener Kurven vom Geschlecht Null und Eins. Die Bedeutung der Transformationen in der Geometrie der Kurve.
Kap. III. Kurven und Transformationen. Transformation der Kurven vom Geschlecht Null. Note über die rationalen Kurven mit einer endlichen Anzahl von projektiven Substitutionen; über die allgemeine Theorie der Raumkurven vierten Grades zweiter Art. Kurven mit unendlich vielen projektiven Transformationen. Transformationen der elliptischen Kurven. Note über die endlichen Transformationsgruppen einer elliptischen Kurve. Anwendung auf die projektive Theorie der Raumkurven vierten Grades erster Art. Nachträge: Die syzygetischen Bündel der Raumkurven vierten Grades erster Art. Transformationen der Kurven vom Geschlecht \(p > 1\) und insbesondere der ebenen Kurven vierten Grades. Note über die arithmetischen Irrationalitäten bei Kurventransformationen; Beiträge zur Zahlentheorie. Die Moduln der Kurven vom Geschlecht \(p\) und der Existenzsatz. Note über die Irreduzibilität der Kurvenfamilie vom Geschlecht \(p\) und über den Lüroth-Clebschschen Satz. Ein neuer Gesichtspunkt der Kurvengeometrie, betreffend die Zählung der Moduln. Die Entartungsmethode und die Abzählungsfragen auf der Kurve. Das Entartungsprinzip und die Geometrie auf Kurven von allgemeinem Modul. Die Zyklen der Riemannschen Flächen vom Geschlecht \(p\) und ihre Entartungen.
Kap. IV. Korrespondenzen zwischen Kurven. Mehrfache Kurven. Anwendungen; elliptische mehrfache Kurven ohne Verzweigungsstellen. Das Korrespondenzprinzip auf einer Kurve. Anwendungen des Korrespondenzprinzips. Dreifach- und Vierfachschneidende einer Raumkurve. Die irrationalen Involutionen auf einer Kurve; die Sätze von Painlevé und von Castelnuovo-Humbert. Abzählendes Kriterium dafür, daß eine Reihe von Punktgruppen in einer linearen Reihe enthalten sein soll. Die Korrespondenzen auf einer Kurve von allgemeinem Modul. Die singulären Korrespondenzen.
Kap. V. Über die Theorie der Raumkurven. Analytische Darstellung. Parameter, von welchen eine Familie von Raumkurven abhängt; Klassifikationsprobleme. Vollständige Durchschnitte zweier Flächen. Raumkurven, welche unvollständige Durchschnitte zweier Flächen sind; Äquivalenzformeln und kanonische Reihe. Postulationsformel; Kurve vom maximalen Geschlecht. Auf einem Monoid von gegebener Ordnung gezogene Raumkurve. Die ebene Darstellung der kubischen Fläche. Auf einer kubischen Fläche gezogene Raumkurven. Bemerkungen über die Einteilung der Raumkurven. Zusätze. (V 5 E.)
Besprechung: L. Godeaux. Bulletin sc. math. (2) 49, 97-100.

MSC:
14-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to algebraic geometry