Sur les systèmes de points du plan. Application aux courbes gauches algébriques. (French) JFM 51.0526.03

Légaut, M.

Annales Toulouse (3) 16, 29-132 (1925).

Es handelt sich in dieser inhaltsreichen Abhandlung um gewisse grundlegende Fragen über Punktsysteme aus der Kategorie derer, die schon von Cramer, Cayley, Bacherach und neuerdings in allgemeinerer Weise von Gambier untersucht worden sind.
Ist \(A\) ein System von Punkten in der Ebene, so versteht Verf. unter der ersten Minimalkurve von \(A\) die Kurve geringsten Grades, die man durch \(A\) schicken kann. Die zweite Minimalkurve von \(A\) ist die Kurve geringsten Grades, die durch \(A\) geschickt werden kann und die nicht notwendig in die erste Minimalkurve und eine andere Kurve zerfällt. Diese beiden Minimalkurven schneiden sich im allgemeinen in einem Punktsystem \(A_1\), das das erste reduzierte System von \(A\) genannt wird. Das erste reduzierte System \(A_2\) von \(A_1\) heißt das zweite reduzierte System von \(A\) usw. Die Gesamtheit der aufeinanderfolgenden reduzierten Systeme von \(A\) bildet die Reduktion von \(A\). Alle diese Systeme werden als Systeme von einfachen verschiedenen Punkten vorausgesetzt. Aus dem Studium der Reduktion eines Punktsystems wird nun eine Reihe seiner Eigenschaften abgeleitet; jedes System reduziert sich auf ein vollständiges Schnittpunktsystem zweier Kurven.
Die Singularität \(s_A^l\) eines Systems \(A\) für die Kurven vom Grad \(l\) ist der Überschuß der Zahl \(A\) über die Zahl der unabhängigen Bedingungen, die einer solchen Kurve auferlegt werden müssen, damit sie \(A\) enthält. Ein System heißt allgemein, wenn seine Singularität für seine erste Minimalkurve Null ist. Ein solches System reduziert sich stets auf das vollständige Schnittpunktsystem zweier Geraden oder einer Geraden und eines Kegelschnitts oder zweier Kegelschnitte.
Wenn ein unzerlegbarer Teil der ersten Minimalkurve des reduzierten Systems \(A_i\) keinen Punkt des folgenden Systems \(A_{i+1}\) enthält, so heißt \(A\) unregelmäßig. Wenn keines seiner reduzierten Systeme diese Eigenschaft hat, heißt \(A\) regelmäßig. Die Ausdrücke für die Singularität eines Systems hängen von seinen Unregelmäßigkeiten ab, deren Studium einen breiten Raum der Abhandlung einnimmt.
Für die Singularität \(s_A^l\) eines Systemes \(A\) lassen sich Formeln aufstellen, in die gewisse ganze Zahlen eingehen, die sich als sehr einfache Funktionen der Gradzahlen der verschiedenen Minimalkurven der reduzierten Systeme darstellen. Mit Hilfe dieser Zahlen wird die allgemeine Gleichung der Kurven vom Grad \(l\) gewonnen, die durch ein gegebenes Punktsystem gehen.
Im zweiten Teil der Arbeit werden die Ergebnisse und Methoden des ersten auf das Studium folgender Fragen angewandt:
a) Wieviele Bedingungen müssen erfüllt sein, damit eine Raumkurve in einer Fläche vom Grad \(l\) enthalten ist?
b) Welches ist das Geschlecht einer Raumkurve ohne mehrfachen Punkt?
c) Unter welchen Bedingungen schneidet eine Fläche vom Grad \(l\), die durch den vollständigen Schnitt einer Kurve \(C\) mit einer Fläche von der Ordnung \(n\) geht, die Kurve \(C\) im vollständigen Schnitt von \(C\) mit einer Fläche von der Ordnung \(l - n\)?
Diese Fragen, die von Halphen, Noether und Castelnuovo in berühmten Arbeiten studiert wurden, werden für eine gewisse Familie von Raumkurven gelöst, für andere werden Ansätze zur Lösung gegeben. Die Abhandlung schließt mit einem Ausblick auf das Studium von Punktsystemen im Raum.

Reviewer: Löffler, E., Dr. (Stuttgart)

JFM Section:

Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 5. Algebraische Geometrie. E. Algebraische Flächen. Raumkurven und Liniensysteme.