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Sur une représentation paramétrique intrinsèque de la courbe continue la plus générale. (French) JFM 51.0537.02

Verf. gibt eine natürliche Parameterdarstellung für Kurven an, die auch dann brauchbar ist, wenn die vorgelegte Kurve nicht rektifizierbar ist, also die Bogenlänge als Parameter nicht zuläßt. Er zerlegt die Kurve in zwei Bögen gleicher Breite (Maximalsehne), ordnet dem Anfangs- bzw. Endpunkt den Parameterwert 0 bzw. 1 zu und dem Teilpunkt den Wert \(\frac12\). Analog behandelt er die Teilbögen usw. Diese natürliche Parameterdarstellung läßt sich (was aber für die folgenden Untersuchungen nicht wesentlich ist) eindeutig festlegen. Verf. schlägt den folgenden Weg ein: Die möglichen Teilpunkte (Parameter \(\frac12\)) erfüllen einen ganzen Bogen, den man wie den Ausgangsbogen weiterbehandelt, um nach endlich oder abzählbar unendlich vielen Schritten den endgültigen Teilpunkt zu gewinnen.
Bezieht man die Kurven einer gleichmäßig konvergenten Folge auf einen natürlichen Parameter der angegebenen Art, so bilden die Parameterdarstellungen eine Normalfamilie und die Grenzfunktionen liefern natürliche Parameter der Grenzkurve.
Aus einem Beschränktheitssatz für den Quotienten aus der Breite eines Kurvenbogens und der Differenz der zugehörigen Parameter gewinnt Verf. für Kurven mit Tangente und differenzierbarer natürlicher Parameterdarstellung, daß die Ableitung nicht aller Koordinaten gleichzeitig verschwindet. Verf. erwähnt dabei das Problem der differenzierbaren Parameterdarstellung für Kurven mit Tangente. (IV 3 A.)

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