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Mémoire sur l’intégration de l’équation de la déformation des surfaces par la méthode de Darboux. (French) JFM 51.0552.04

Verf. betrachtet Gleichungen von der Form \(r + f(x, y, z, p, q, s, t) = 0\) mit nicht zusammenfallenden Charakteristiken. In der Einleitung stellt er gewisse Formeln für die vollständigen Ableitungen von \(f\) nach \(y\) zusammen. Er führt sodann den Begriff “fonction principale” \(n\)-ter Ordnung ein, der eine Verallgemeinerung des Begriffs Involution der Gleichung \(r + f = 0\) ist, und untersucht im ersten Teile zunächst den Fall \(n > 3\), dann den Fall \(n = 3\) und endlich den Fall, wo \(\varphi\) linear ist in den höchsten Ableitungen \(p_{1, n-1}\), \(p_{0, n}\) also eine Involution. Er gewinnt so eine Reihe von Sätzen über die Existenz oder Nichtexistenz von Involutionen gewisser Ordnungen. Für die linearen Gleichungen \(r + f = 0\) müssen diese Untersuchungen etwas umgestaltet werden und führen zu einer Reihe neuer Sätze, was im zweiten Teile der Arbeit gezeigt wird. Der dritte Teil enthält die Anwendung auf das Problem der Deformation, also auf die Aufgabe, alle Flächen mit gegebenem Bogenelement zu bestimmen. Verf. denkt sich, dabei das Bogenelement auf die Form \[ ds^2 = dx^2 + T^2 (x, y)\, dy^2 \] gebracht, was ja nur die Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen erfordert. Die von Darboux aufgestellte Monge-Ampèresche Gleichung des Problems wird durch eine Ampèresche Transformation auf die lineare Form gebracht, die überdies von der unbekannten Funktion frei ist. Es fragt sich, wann diese Gleichung durch Darbouxs Methode integrabel ist. Die früheren Entwicklungen zeigen nun zunächst, daß die Flächen mit dem Bogenelement \[ ds^2 = dx^2 + (y_1(y) x^2 + 2y_2(y) x + y_3(y))\, dy^2 \] eine ausgezeichnete Rolle spielen, d. h. die Flächen, die auf geradlinige abwickelbar sind. Sieht man von dieser Form ab, so bleiben nur die beiden Möglichkeiten, daß die lineare Gleichung des Problems eine Involution dritter Ordnung oder eine von zweiter Ordnung zuläßt. Es zeigt sich aber, daß der erste Fall nur eintreten kann, wenn zugleich der zweite eintritt, und daß dieser zweite nur eintritt, wenn die Fläche auf eine geradlinige abwickelbar ist. Soll diese geradlinige Fläche nicht von zweiter Ordnung sein, so ist notwendig und hinreichend, daß es für jedes System von Charakteristiken eine und nur eine Involution zweiter Ordnung gibt. Ist die Fläche überdies nicht auf eine Rotationsfläche abwickelbar, so gibt es keine weitere Involution, und die Gleichung der Deformation ist daher nicht nach Darbouxs Methode integrierbar. Andererseits liefern die beiden Involutionen zweiter Ordnung zwei unbeschränkt integrable Systeme von je zwei Gleichungen zweiter Ordnung, unter deren Integralflächen jedenfalls alle geradlinigen Flächen stecken, die auf eine geradlinige Fläche abwickelbar sind. Ist die Fläche auf eine Fläche zweiter Ordnung abwickelbar, so gehören zu jedem Systeme von Charakteristiken zwei Involutionen zweiter Ordnung. Man hat dann vier zweigliedrige Systeme zweiter Ordnung unter deren Integralflächen jedenfalls alle geradlinigen Flächen stecken, die auf eine Fläche zweiter Ordnung abwickelbar sind. Das Gesagte wird genügen, um eine Vorstellung von der Bedeutung und der Wichtigkeit der Untersuchung des Verf. zu geben. (IV 12.)
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Full Text: DOI Numdam Numdam EuDML