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Sur deux classes remarquables de congruences \(W\). (French) JFM 51.0559.01

Über den ersten Teil der Abhandlung (1924) siehe F. d. M. 50, 475 (JFM 50.0475.*).
Der zweite Teil bezieht sich auf die Bestimmung derjenigen \(W\)-Kongruenzen, deren Mittelfläche eine Ebene ist.
Geht man zunächst von einer beliebig gewählten erzeugenden Fläche \(z = z (x, y)\) aus, so werden durch die Formeln \[ x_{1, 2} = -y \pm p\lambda, \quad y_{1, 2} = x \pm q\lambda, \quad z_{1, 2} = \mp \lambda, \quad \lambda = \frac{1}{\sqrt{s^2 - rt}} \] die Koordinaten der beiden Brennflächenmäntel \(F_1\) und \(F_2\) der allgemeinsten Strahlenkongruenz mit Mittelebene \(z = 0\) dargestellt. Die Forderung, daß auf \(F_1\) und \(F_2\) die Asymptotenlinien sich entsprechen, führt, abgesehen von einem Sonderfalle, in dem \(F_2\) in eine Kurve ausartet, auf eine bereits von Sbrana aufgestellte partielle Differentialgleichung dritter Ordnung für \(z\). Diese erweist sich als gleichwertig mit einer Relation von der Form \(\dfrac{r}{s} = \varPhi \left(\dfrac{s}{t}\right)\), d. h. mit einer homogenen Gleichung zwischen \(r\), \(s\), \(t\). Die Ermittlung der zugehörigen Integralflächen, die sich überdies durch die Eigenschaft auszeichnen, daß man ihre Asymptotenlinien mit Hilfe von Quadraturen erhält, hängt, wie Verf. zeigt, von der Lösung des folgenden, durch die Gleichung \[ \frac{du^2}{\omega^2} + \frac{dv^2}{\varphi^2 (\omega)} = 4d\xi d\eta \] gekennzeichneten Problems ab: die Orthogonalsysteme der Ebene zu bestimmen, für die zwischen den beiden Koeffizienten des Linienelements eine Relation besteht. Die weiteren Entwicklungen erledigen diese Aufgabe, die eine Art Analogon zur Bestimmung der Weingartenschen Flächen bedeutet, für einige speziell gewählte Funktionen \(\varphi (\omega)\).

Citations:

JFM 50.0475.*
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Full Text: DOI Numdam EuDML