×

zbMATH — the first resource for mathematics

Note on the projective geometry of paths. (English) JFM 51.0569.02
Die Gesamtheit der Eigenschaften einer affinzusammenhängenden Mannigfaltigkeit ohne Torsion (\(\varGamma_{\alpha\beta}^i= \varGamma_{\beta\alpha}^i\)), welche bei bahntreuer Transformation der Übertragung invariant sind, bildet die projektive Geometrie der Bahnkurven. Tensoren, die diese Invarianz besitzen, heißen projektive Tensoren. Verf. konstruiert zunächst, ausgehend von einem \(n\)-upel von unabhängigen kovarianten (kontravarianten) Vektoren, ein \(n\)-upel von kovarianten (gemischten) projektiven Tensoren zweiter Stufe, dessen identisches Verschwinden notwendig und hinreichend dafür ist, daß die \(n\) entsprechenden Vektoren in der projektiven Geometrie der Bahnkurven parallel sind. Die Existenz eines derartigen \(n\)-upels von unabhängigen parallelen kovarianten (oder kontravarianten) Vektoren ist notwendig und hinreichend dafür, daß die projektive Geometrie der Bahnkurven euklidisch ist. Schließlich werden noch die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür aufgestellt, daß die projektive Geometrie der Bahnkurven eine Riemannsche oder Weylsche Geometrie ist.

Subjects:
Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 6. Differentialgeometrie. C. \textit{Differentialgeometrie in mehrdimensionalen und allgemeinen Räumen}.
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI