Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée. II. (French) JFM 51.0582.01

Cartan, E.

Annales Ecole norm. (3) 42, 17-88 (1925).

Das sechste Kapitel der Cartanschen Abhandlung, das erste des vorliegenden zweiten Teiles (Besprechung des ersten, 1923 und 1924 erschienenen Teiles s. F. d. M. 49, 542 (JFM 49.0542.*) und vorstehend) beschäftigt sich mit der “Holonomiegruppe” einer \(n\)-dimensionalen affin-zusammenhängenden Mannigfaltigkeit \(A_n\). Jedem geschlossenen Wege in der \(A_n\), der von einem beliebigen Punkte \(P\) der \(A_n\) ausgeht und wieder dahin zurückkehrt, ist eine Affinität zugeordnet. Die allen möglichen solchen Wegen zugeordneten Affinitäten bilden eine Gruppe \(\mathfrak{g}\). Die den verschiedenen Punkten der \(A_n\) zugeordneten Gruppen \(\mathfrak{g}\) sind innerhalb der allgemeinen affinen Gruppe \(G\) gleichberechtigt. Die einem beliebigen Punkte \(P\) zugeordnete Gruppe \(\mathfrak{g}\) läßt den Punkt dann und nur dann fest, wenn sich \(\mathfrak{g}\) auf die Identität reduziert, die \(A_n\) also ein gewöhnlicher affiner Raum ist; sie besteht dann und nur dann aus lauter Translationen, wenn die \(A_n\) die Krümmung Null hat. Die einem Punkt \(P\) zugeordnete Gruppe \(\mathfrak{g}\) induziert im Vektorkörper des Punktes \(P\) eine Gruppe \(\gamma\) von homogenen Affinitäten. Die den verschiedenen Punkten der \(A_n\) zugeordneten Gruppen \(\gamma\) sind innerhalb der homogenen affinen Gruppe \(\varGamma\) gleichberechtigt. Schließlich wird angegeben und an Beispielen erläutert, wie man erkennt, wann die einem beliebigen Punkte \(P\) der \(A_n\) zugeordnete Gruppe \(\gamma [\mathfrak{g}]\) Untergruppe einer vorgegebenen Gruppe (oder einer innerhalb \(\varGamma [G]\) gleichberechtigten) ist.
Die folgenden Kapitel behandeln die Zerlegung des Torsions- und Krümmungs- tensors in irreduzible Tensoren. Ein Tensor in einem Punkt \(P\) der \(A_n\) heißt irreduzibel, wenn es unmöglich ist, eine gewisse Anzahl von linearen Kombinationen seiner Komponenten mit konstanten Koeffizienten zu finden, die für sich einen Tensor bilden. In Kapitel VII wird der Torsions- und der Krümmungstensor einer \(A_n\) in zwei bzw. fünf irreduzible Tensoren zerlegt, und diese Tensoren, bzw. ihr Verschwinden, geometrisch gedeutet. Für eine torsionslose \(A_n\) reduziert sich die Zahl der irreduziblen Tensoren der Krümmung auf drei. Kapitel VIII bringt die entsprechende Untersuchung für die \(n\)-dimensionale metrisch-zusammenhängende Mannigfaltigkeit \(M_n\). Hier gibt es im allgemeinen drei irreduzible Tensoren der Torsion und sieben irreduzible Tensoren der Krümmung, von denen für \(n = 3\) drei identisch Null sind. Für \(n = 4, 6, 8\) erhöht sich die Zahl der irreduziblen Tensoren der Torsion und Krümmung. Im Falle des Weylschen und Riemannschen Raumes reduziert sich (für \(n \neq 4\)) die Anzahl der irreduziblen Krümmungstensoren auf vier bzw. drei. In Kapitel IX wird der Fall \(n = 3\) ausführlicher untersucht: Zunächst werden die einzelnen irreduziblen Tensoren geometrisch gedeutet, sodann einige interessante besondere \(M_3\) besprochen und schließlich alle (skalaren und vektoriellen) Integralinvarianten einer \(M_3\) bzw. einer euklidisch zusammenhängenden Mannigfaltigkeit \(E_3\) gebildet, deren Koeffizienten linear von den Komponenten der Tensoren der Krümmung und Torsion abhängen. Das letzte Kapitel behandelt den Fall \(n = 4\). Hier gibt es vier irreduzible Tensoren der Torsion und zehn solche der Krümmung, die auch geometrisch gedeutet werden. Anschließend werden für eine euklidisch zusammenhängende Mannigfaltigkeit \(E_4\) die dreidimensionalen vektoriellen und bivektoriellen Integralinvarianten aufgezählt, soweit sie linear von den Komponenten der Torsions- und Krümmungstensoren abhängen. Weiter wird der besondere Fall des Weylschen Raumes betrachtet und das Ergebnis von Weitzenböck (1920; F. d. M. 47, 784 (JFM 47.0784.*)) über die möglichen Gestalten der Wirkungsfunktion in der Weylschen Theorie auf neuem Wege abgeleitet. Den Schluß bilden einige Angaben über die Integralinvarianten der Riemannschen Räume. (VII 2.)

Reviewer: Berwald, L., Prof. (Prag)

JFM Section:

Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 6. Differentialgeometrie. C. Differentialgeometrie in mehrdimensionalen und allgemeinen Räumen.

Citations:

JFM 49.0542.*; JFM 47.0784.*