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On the conditions of integrability of covariant differential equations. (English) JFM 51.0596.05
Im ersten Teil dieser Arbeit werden die Integrabilitätsbedingungen in kovarianter Form einer kovarianten Differentialgleichung in einer \(A_n\) von der Form \[ \nabla_\mu v_{\lambda_p\ldots\lambda_1}=w_{\mu\lambda_p\ldots\lambda_1}, \text{ kurz } \nabla_\mu v_{\lambda_p}=w_{\mu\lambda_p}, \] untersucht.
Dabei wird folgende Abkürzung benutzt: \(\lambda_p\) bedeute stets \(\lambda_p\lambda_{p-1}\ldots\lambda_{q+1}\), wenn \(\lambda_q\) der nächste in dem betreffenden Term explizit auftretende mit \(\lambda\) gebildete Index ist, \(q<p\). Die erste Integrabilitätsbedingung lautet \[ \tfrac12 R^{\dot{\phantom{\mu}}}_{\mu_2}{}^{\dot{\phantom{\_}}}_{\lambda_p}{}^{\nu_p}v_{\nu_p}= \nabla_{[\mu_2}w_{\mu_1]\lambda_p}, \] wo \(R^{\dot{\phantom{\mu}}}_{\mu_2}{}^{\dot{\phantom{\_}}}_{\lambda_p}{}^{\nu_p}\) in einfacher Weise mit der Krümmungsgröße zusammenhängt. Die weiteren Integrabilitätsbedingungen entstehen durch fortgesetzte kovariante Differentiation der ersten, wobei stets alle Ableitungen von \(v_{\lambda_p}\) eliminiert werden. Insbesondere wird der lineare Fall untersucht. Der von O. Veblen und T. Y. Thomas untersuchte Spezialfall [Trans. Am. Math. Soc. 25, 551–608 (1924; JFM 50.0504.02)], insbesondere S. 584 ff. der dort besprochenen Arbeit) ergibt sich dabei, wenn die rechte Seite der Gleichung verschwindet. Als Anwendungen kommen die konformen Transformationen einer \(V_n\) und die bahntreuen einer \(A_n\) zur Sprache.
Im zweiten Teil werden Gleichungssysteme der Form \[ \overset\xi{\mathstrut P} \nabla_\mu v_{\lambda_p\ldots\lambda_1}= \overset\xi{\mathstrut w}_{\mu\lambda_p\ldots\lambda_1}, \text{ kurz: } \overset\xi{\mathstrut P} \nabla_\mu v_{\lambda_p}= \overset\xi{\mathstrut w}_{\mu\lambda_p} \] untersucht, wo \(\overset\xi{\mathstrut P}\) einen Operator darstellt, der eine lineare homogene Funktion der \((p+1)!\) Permutationen der \(p+1\) Indices \(\mu\), \(\lambda_p\), …, \(\lambda_1\) ist. Zuerst wird bewiesen, daß ein Gleichungssystem von dieser Form stets äquivalent ist mit einer einzigen Gleichung derselben Form. Mit Hilfe des von Lie herrührenden Fundamentaltheorems der Theorie der Systeme partieller Differentialgleichungen und der algebraischen Theorie der Operatoren \(P\) gelingt es, durch Aufstellung eines einfachen Kriteriums für den Operator \(P\) zu entscheiden, ob die allgemeine Lösung von einer endlichen Anzahl Konstanten abhängt oder beliebige Funktionen enthält. Bei einer linearen Gleichung wird gezeigt, daß sich im ersten Falle die Integration zurückführen läßt auf die Lösung eines Systems von algebraischen Gleichungen und die Integration eines vollständigen Systems. (V 6 C.)

MSC:
53-XX Differential geometry
Subjects:
Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 7. Vektor- und Tensorrechnung.
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