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Über einige Existenzprobleme der Hydrodynamik homogener, unzusammendrückbarer, reibungsloser Flüssigkeiten und die Helmholtzschen Wirbelsätze. (German) JFM 51.0658.01

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Full Text: DOI EuDML
References:
[1] Vgl. L. Lichtenstein, Über einige Hilfssätze der Potentialtheorie I., Math. Zeitschr.23 (1925), S. 72-88. · JFM 51.0357.02
[2] Vgl. A. Friedmann, Sur les tourbillons dans un liquide à temperature variable, C. R.163 (1916), S. 219-222. · JFM 46.1251.04
[3] Journal für Math.55 (1858), S. 25-55.
[4] Vgl. L. Lichtenstein, Untersuchungen über die Gestalt der Himmelskörper. Zweite Abhandlung. Eine aus zwei getrennten Massen bestehende Gleichgewichtsfigur rotierender Flüssigkeit. Math. Zeitschr.12 (1922), S. 201-218. · JFM 48.1089.01
[5] Vgl. loc. cit. 3) Journal für Math.55 (1858), S. 25-55.
[6] Vgl. L. Lichtenstein, Untersuchungen über die Gestalt der Himmelskörper. Dritte Abhandlung. Ringförmige Gleichgewichtsfiguren ohne Zentralkörper. Math. Zeitschr.13 (1922), S.82-118. · JFM 48.1090.01
[7] Vgl. N. Günther, Sur un problème d’hydrodynamique, C. R.177 (1923), S. 865-867. Herr Günther bedient sich. a. a. O. eines von dem hier gebrauchten verschiedenen Verfahrens sukzessiver Approximationen. Nähere Angaben über den Konvergenzbeweis werden nicht gemacht. Man vergleiche auch eine kurze vorläufige Mitteilung, die von Herrn Günther dem Kongreß für angewandte Mathematik und Mechanik in Delft im April 1924 vorgelegt worden ist.
[8] Kürzer einerH-Bedingung (mit dem Ezponenten ?).
[9] Wir nennen im folgenden ?Gebiet? das, was gelegentlich als ?offenes Gebiet? bezeichnet wird. Die abgeschlossene Menge, bestehend aus einem Gebiet und seinem Rand, wird nach einem Vorschlage von Herrn Rosenthal ?Bereich? genannt. Wir sprechen von einem BereicheT 0 oder auch, wenn die Begrenzung mit hervorgehoben werden soll, von einem BereicheT 0+S 0.
[10] Die Bewegung ist, wie man sieht, vonp * unabhängig; dap * beliebig gewählt wählt werden kann, so ist der Druckp durch die übrigen Bedingungen nur bis auf eine willkürliche additive Funktion der Zeit bestimmt.
[11] Vgl. A. Korn, Sur les équations de l’élasticité, Annales de l’École Normale (3),24 (1907), S. 9-75, insb. S. 29-30. Eine Zusammenstellung der Sätze dieser Art nebst genauen Literaturangaben findet sich in meinem Encyklopädieartikel II C 3 S. 199-210. Siehe auch meine unmittelbar vorangehende Abhandlung, § 5.
[12] Die Literatur findet sich in meinem Encyklopädieartikel II C 3, S. 199-209 angegeben.
[13] Vgl. bsp. A. Korn, l. c. 14). Auf die Existenz und Stetigkeit der fraglichen Ableitungen ist übrigens bereits am Schluß des § 3 hingewiesen worden.
[14] Es wird dabei vorausgesetzt, daß beim Übergang von ? in das Innere der Flüssigkeitsmasse,? längs einer Normale zu ? die Funktion ? allemal positive Werte erhält. Diese Annahme bildet natürlich keine Einschränkung der Allgemeinheit.
[15] Man. vgl. hierzu etwa meinen Encyklopädieartikel II C 3, S. 197-199 sowie S. 212-213.
[16] Vgl. S. Kirchhoff, Mechan’s, Leipzig 1876, S. 233-250.
[17] Sie sind von Herrn A. Friedmann, C. R.163 (1916), S. 219-222.
[18] Mitt. der Math. Ges. Charkow, 6S. (russisch, abgeschlossen 1915), angegeben worden, Die zunächst folgenden Ausführungen des Textes bilden eine Modifikation der Darstellung von P. Appell, Traité de Mécanique rationnelle Bd. III (1921), S. 596-599. Herr Friedmann betrachtet übrigens den allgemeineren Fall einer kompressiblen Flüssigkeit.
[19] Für alle in Betracht kommendent gleichmäßig.
[20] Unter geeigneten Voraussetzungen bezüglich des Verhaltens im Unendlichen, auf die freilich a. a. O. nicht näher eingegangen wird.
[21] Wir nehmen darüber hinaus an, daß der Krümmungsradius vonS 1 bzw.S 2 als Funktion der Bogenlänge derH-Bedingung genügt. Die im vorstehenden zusammengestellten Voraussetzungen entsprechen genau den im ersten Kapitel der FlächeS auferlegten Bedingungen.
[22] D. h. der Höchstwert der Entfernung zweier Punkte vonS 1 voneinander.
[23] Aus Symmetriegründen nimmt (17) aufS 1 undS 2 denselben Wert an.
[24] Auch jetzt nimmt aus Gründen der Symmetrie der Ausdruck (19) aufS 1 undS 2 denselben Wert an.
[25] Untersuchungen über die Gestalt der Himmelskörper. Zweite Abhandlung. Eine aus zwei getrennten Massen bestehende Gleichgewichtsfigur rotierender Flüssigkeit, Math. Zeitschr.12 (1922), S. 201-218. · JFM 48.1089.01
[26] Vgl. die Fußnote Unter geeigneten Voraussetzungen bezüglich des Verhaltens im Unendlichen, auf die freilich a. a. O. nicht näher eingegangen wird.
[27] Vgl. G. Kirchhoff, Mechanik, S. 261-264. Leipzig 1876.
[28] Vgl. Th. v. Kármán, Über den Mechanismus des Widerstandes, den ein bewegter Körper in einer Flüssigkeit erfährt, Gött. Nachr. 1911, S. 509-517. · JFM 42.0800.01
[29] Auf die freilich a. a. O. nicht näher eingegangen wird.
[30] Vgl. J. Weingarten, Zur Theorie der Wirbelringe, Gött. Nachr. 1906, S. 81-93. S. auch L. S. Da Rios, Sul moto dei filetti vorticosi di forma qualunque, Palermo Rendiconti29 (1910), S. 354-368.
[31] Vgl. L. Lichtenstein, Untersuchungen über die Gestalt der Himmelskörper. Dritte Abhandlung. Ringförmige Gleichgewichtsfiguren ohne Zentralkörper, Math. Zeitschr.13 (1922), S. 82-118. · JFM 48.1090.01
[32] Vgl. beispielsweise H. Lamb, Lehrbuch der Hydrodynamik, Leipzig und Berlin 1907, S. 275 ff. Die a. a. O. in der Formel (4) vorkommende Größ ? hat im vorliegenden Falle den Wert 2J.
[33] In (2), wie auch später, bezeichnetO das bekannte durch Landau eingebürgerte Symbol;O(d 3/l 3) ist beispielsweise eine Funktion, die für alle hinreichend kleinen Werte von |d/l| in der Formd 3/l 3 x beschränkte Funktion vonx, d undl dargestellt werden kann.
[34] Vgl. L. Lichtenstein, Untersuchungen über die Gleichgewichtsfiguren rotierender Flüssigkeiten, deren Teilchen einander nach dem Newtonschen Gesetze anziehen. Zweite Abhandlung, Math. Zeitschrift7(1920), S. 126-231, insb. S. 156-165; Erste Abhandlung, ebenda6 (1918), S. 229-284, insb. S. 277-278. · JFM 46.1401.01
[35] Vgl. die zweite Abhandlung S. 158 die Formel (13), S. 162 die Formeln (41) und (42).
[36] Lord Kelvin gibt einen analogen Ausdruck mit 1/4 an Stelle von 1, desgleichen W. M. Hicks. Die Formel (77) finden hingegen J. J. Thomson, T. C. Lewis und C. Chree. Vgl. A. E. H. Love, Hydrodynamik II, Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften IV 16, S. 118, Fußnote 113).
[37] Daß ? diese Eigenschaft hat, ließe sich auch wie in der in der Fußnote 58) an zweiter Stelle genannten Abhandlung zeigen.
[38] Die Wirbelstärke ist konstant. Der geometrische Ort der Mittelpunkte steht auf der Ebene der Kreise senkrecht.
[39] Vgl. loc. cit. 3) Journal für Math.55 (1858), S. 25-55.
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