×

zbMATH — the first resource for mathematics

Einheitliche Feldtheorie von Gravitation und Elektrizität. (German) JFM 51.0704.06
Ein affiner (asymmetrischer) Zusammenhang \(\varGamma_{\alpha\beta}^\mu\) der von ihm abgeleitete (verjüngte) Riemannsche Tensor \(R_{\mu\nu}\) und eine unabhängig von beiden eingeführte kontravariante Tensordichte \(\mathfrak g^{\mu\nu}\) bestimmen in einem vierdimensionalen Kontinuum die skalare Dichte \(\mathfrak H=\mathfrak g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}\) und die Integralinvariante \[ \mathfrak J=\overset{(4)}{\textstyle\int\cdots\int}\,\mathfrak H\,dx_1 \,dx_2\,dx_3\,dx_4. \] Ihre Variationsableitungen nach \(\mathfrak g^{\mu\nu}\) und \(\varGamma_{\mu\nu}^\alpha\) führen auf das System \[ \begin{gathered} -\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x_\alpha}+ g_{\sigma\nu}\varGamma_{\mu\alpha}^\sigma+ g_{\mu\sigma}\varGamma_{\alpha\nu}^\sigma+ g_{\mu\nu}\varPhi_\alpha+g_{\mu\alpha}\varPhi_\nu=0,\\ \frac{\partial \mathfrak g^{\nu\alpha}}{\partial x_\alpha} \frac{\partial\mathfrak g^{\alpha\nu}}{\partial x_\alpha}=0,\;\; -\frac{\partial \varGamma_{\mu\nu}^\alpha}{\partial x_\alpha}+ \varGamma_{\mu\beta}^\alpha\varGamma_{\alpha\nu}^\beta+ \frac{\partial\varGamma_{\mu\alpha}^\alpha}{\partial x_\nu} \varGamma_{\mu\nu}^\alpha\varGamma_{\alpha\beta}^\beta=0, \end{gathered} \] wo \(g_{\mu\nu}\) und \(\varPhi_\tau\) kovariante Tensoren sind \((\mathfrak g_{\mu\nu}=\dfrac{g_{\mu\nu}}{\sqrt{-g}})=g_{\mu\nu}\sqrt{-g}\). Der kovariante Vektor \(\varPhi_\tau\) verschwindet, wenn \(g_{\mu\nu}\) und \(\varGamma_{\mu\nu}^\alpha\) symmetrisch vorausgesetzt werden, womit man unmittelbar zum Gesetz des reinen Gravitationsfeldes gelangt. Ebenso folgt aus den Systemgleichungen die Symmetrie der \(\varGamma_{\mu\nu}^\alpha\), wenn die \(g_{\mu\nu}\) symmetrisch angenommen werden, das Gravitationsgesetz aber nur, wenn noch \(\varPhi_\tau=0\) postuliert wird. Aus dem letzten Grunde hält Verf. auch für den Fall allgemeiner \(g_{\mu\nu}\) an der Forderung \(\varPhi_\tau=0\) fest. Der Ansatz in erster Näherung \[ g_{\mu\nu}=-\delta_{\mu\nu}+\gamma_{\mu\nu}+\varPhi_{\mu\nu} \] mit symmetrischen (\(\gamma_{\mu\nu}\)) bzw. schiefsymmetrischen (\(\varPhi_{\mu\nu}\)), Größen, welche gegenüber \(\delta_{\mu\nu}\) unendlichklein von erster Ordnung sind, führt (mit Beschränkung auf diese Ordnung!) auf das System von Gleichungen \[ \begin{gathered} \frac{\partial \varPhi_{\mu\nu}}{\partial x^\nu}=0,\\ -\frac{\partial^2\gamma_{\mu\nu}}{\partial x_\alpha^2}+ \frac{\partial^2\gamma_{\mu\alpha}}{\partial x_\nu\partial x_\alpha}+ \frac{\partial^2\gamma_{\nu\alpha}}{\partial x_\mu\partial x_\alpha} \frac{\partial^2\gamma_{\alpha\alpha}}{\partial x_\mu\partial x_\nu}=0,\\ \frac{\partial^2\varPhi_{\mu\nu}}{\partial x_\alpha^2}=0,\end{gathered} \] deren erste und letzte im wesentlichen mit den Maxwellschen Gleichungen des leeren Raumes identisch sind. Um die zeitliche Symmetrie der elektromagnetischen Vorgänge zu wahren, ordnet Verf. \(\varPhi_{23}\), \(\varPhi_{31}\), \(\varPhi_{12}\) dem elektrischen, \(\varPhi_{14}\), \(\varPhi_{24}\), \(\varPhi_{34}\) dem magnetischen Feldvektor zu.

PDF BibTeX XML Cite