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Theorems on deducibility. I. (English) JFM 52.0048.03
Verf. betrachtet eine Klasse \(K\) und eine binäre Relation \(R\) und stellt gewisse Voraussetzungen auf, welche ausdrücken, daß \(K\) durch \(R\) als eine dichte Menge geordnet wird. Zuerst wird dioso Menge als eine offene vorausgesetzt; später betrachtet er aber auch die Fälle, wo ein erstes odér letztes Element vorkommt, oder auf einmal beide extremen Elemente vorkommen.
Er beweist die Kategorizität der Axiome im folgenden Sinn: Jede Aussage, die durch Anwendung der fünf logischen Grundoperationen auf \(K\) und \(R\) gebildet werden kann, und worin nur variable Individuensymbole, nicht variable Aussagen auftreten, ist entweder beweisbar wahr oder beweisbar falsch. Er führt den Beweis durch Induktion. Zuerst zeigt er, daß der Satz für alle Aussagen gilt, worin nur zwei Variable auftreten; danach stellt er ein Rekursionsverfahren auf, indem er beweist, daß zu jeder Aussage mit n Variablen eine andere mit \(n - 1\) Variablen gefunden werden kann derart, daß beide entweder beweisbar wahr oder beweisbar falsch sind.
Es ist aber sicher, daß der Verf. seinen Satz weit leichter hätte beweisen können. Es ist nämlich sehr leicht zu zeigen, daß jede Aussage der Form \[ (\exists y)\cdot f(x_1, x_2,\dots, x_n, y) \quad\text{oder}\quad (y)\cdot f(x_1, x_2,\dots, x_n, y), \] wo \(f\) elementar ist, entweder kraft der Axiome beweisbar wahr oder beweisbar falsch ist oder für beliebige \(x_1\),…, \(x_n\) mit einer elementaren Aussagenfunktion \(g(x_1,\dots, x_n)\) äquivalent ist. Hierdurch gelingt es, aus einer gegebenen Aussage die scheinbaren Variablen allmählich zu entfernen, und man gelangt zu dorn Ergebnis, daß die Aussage entweder beweisbar wahr oder beweisbar falsch ist. Näher darauf einzugehen würde aber zu viel Baum in Anspruch nehmen.

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