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Über die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate. (German) JFM 52.0122.01
Das siebzehnte Problem in Hilberts Pariser Vortrag (Nachrichten Göttingen 1900, 253-297, insbesondere 284; F. d. M. 31, 68 (JFM 31.0068.*)-69) betrifft die folgende Frage: Läßt sich eine definite rationale Funktion von \(n\) Veränderlichen mit rationalen Koeffizienten (d. h. eine solche, die für reelle Werte der Veränderlichen niemals negativ ausfällt) immer als Quadratsumme rationaler Funktionen mit rationalen Koeffizienten darstellen? Diese Frage ist bisher nur für Funktionen einer Veränderlichen von Hilbert (Grundlagen der Geometrie, 1. Aufl. (1899), Kap. VII; F. d. M. 30, 424 (JFM 30.0424.*)) und – mit Verschärfungen – von Landau (Math. Ann. 67 (1903), 53-64; 62 (1906), 272-285; F. d. M. 34, 241 (JFM 34.0241.*); 37, 252) vollständig gelöst, während Hilbert im Falle zweier Veränderlicher noch die Möglichkeit der Darstellung als Quadratsumme rationaler Funktionen mit reellen Koeffizienten beweisen konnte (Acta math. 17 (1893), 169-198; F. d. M. 25, 319). Die abstrakte Theorie der reellen Körper, die Artin und Schreier in der vorstehend besprochenen Arbeit entwickelt haben, führt zur vollständigen Lösung dieses Hilbertschen Problems.
Zunächst handelt es sich um die Kennzeichnung derjenigen Elemente eines abstrakten Körpers, die als Quadratsummen von Elementen des Körpers darstellbar sind. Ist der Körper \(K\) nicht reell (im Sinne der Artin-Schreierschen Theorie), und ist seine Charakteristik von 2 verschieden, so liefert die Identität \[ \alpha=\biggl(\frac{1+\alpha}{2}\biggr)^2+ (-1)\biggl(\frac{1-\alpha}{2}\biggr)^2 \] eine Quadratsummendarstellung, wenn man \(-1\) durch eine Quadratsumme ersetzt. Hat \(K\) die Charakteristik 2, so sind alle und nur die Elemente Quadratsummen, die Quadrate von Elementen aus \(K\) sind (dieser Fall wird im folgenden ausgeschlossen). Ist schließlich \(K\) reell, \(\varOmega\) eine algebraisch abgeschlossene algebraische Erweiterung von \(K\) und \(\alpha\) ein Element aus \(K\), das in \(K\) nicht Quadratsumme ist, so gibt es – wie man unter Benutzung einer Wohlordnung der Elemente von \(\varOmega\) erkennt – einen Zwischenkörper \(P\) zwischen \(K\) und \(\varOmega\) von der Eigenschaft, daß \(\alpha\) nicht in \(P\), aber in jeder echten algebraischen Erweiterung von \(P\) Quadratsumme ist. Aus der Definition von \(P\) folgt dann: \(P\) ist reell, \(-\alpha\) ist Quadrat in \(P\), also in jeder echten algebraischen Erweiterung von \(P\) ist \(-1=\dfrac{\alpha}{-\alpha}\) Quadratsumme, d. h. \(P\) ist reell abgeschlossen. Bei der durch die Ordnung von \(P\) bestimmte Ordnung von \(K\) fällt also \(\alpha\) negativ aus. Demgemäß definiert Verf. in Analogie zum Begriff der total positiven Zahl: Ein Element \(\alpha\) von \(K\) heißt total positiv, wenn entweder \(K\) nicht reell ist oder \(K\) reell und \(\alpha\) bei jeder Ordnung von \(K\) nicht negativ ist. Die total positiven Elemente von \(K\) und nur diese lassen eine Darstellung als Quadratsummen von Elementen aus \(K\) zu (Satz 1). Dies Ergebnis läßt sich in Anlehnung an Landau (Math. Ann. 57 (1903), 53-64; F. d. M. 34, 241 (JFM 34.0241.*)) verallgemeinern: Ist \(R\) ein reeller Körper in einer fest gegebenen Ordnung, \(K\) eine Erweiterung von \(R\), so sind alle und nur die Elemente von \(R\) in der Form \(\sum\limits_\nu e_\nu\xi_\nu^2,\,e_\nu\geqq 0\) in \(R\), \(\xi_\nu\) in \(K\), darstellbar, die in bezug auf \(R\) total positiv sind, d. h. bei jeder Ordnung von \(K\), die die Ordnung von \(R\) fortsetzt, nicht negativ ausfallen (Satz 2).
Den Übergang zu den definiten Funktionen stellt nun der folgende Satz her, der durch einen Induktionsschluß nach der Anzahl der Veränderlichen unter wesentlicher Benutzung der Sätze der reellen Algebra im reell abgeschlossenen Körper bewiesen wird: Ist \(R\) ein im gewöhnlichen Sinne reeller Zahlkörper, \(K=R(x_1,\dots,x_n)\) der Körper der rationalen Funktionen von \(n\) Veränderlichen mit Koeffizienten aus \(R\) in einer fest gegebenen Ordnung, die die natürliche Ordnung von \(R\) fortsetzt, so gibt es zu jedem System von endlich vielen Funktionen \(\varphi_1\,(x_1,\dots,x_n)\), …, \(\varphi_m(x_1,\dots ,x_n)\) aus \(K\) stets \(n\) rationale Zahlen \(a_1\), …, \(a_n\), so daß die Funktionswerte \(\varphi_\mu(a_1, \dots, a_n)\) sinnvoll sind und dasselbe Vorzeichen haben wie die entsprechenden Funktionen \(\varphi_\mu(x_1,\dots,x_n)\) (Satz 3). – Läßt sich insbesondere \(R\) nur auf eine Weise ordnen – wie z. B. der Körper der rationalen, der reellen algebraischen oder aller reellen Zahlen –, so ist jede Ordnung von \(K\) Fortsetzung der Ordnung von \(R\), und nach Satz 3 ist jede definite Funktion in \(K\) total positiv. Also ist nach Satz 1 jede definite rationale Funktion mit Koeffizienten aus \(R\) Quadratsumme rationaler Funktionen mit Koeffizienten aus \(R\) (Satz 4). – Nennt man eine rationale Funktion mit Koeffizienten aus einem beliebigen algebraischen Zahlkörper \(R\) total definit, wenn, sie für rationale Werte der Veränderlichen (falls sie sinnvoll ist) nur total positive Werte aus \(R\) annimmt, so gilt entsprechend: Jede total definite Funktion mit Koeffizienten aus \(R\) ist Quadratsumme rationaler Funktionen mit Koeffizienten aus \(R\) (Satz 5). Satz 2 und 3 zusammen liefern: Jede definite rationale Funktion \(F(x_1,\dots,x_n)\) mit Koeffizienten aus einem reellen Zahlkörper \(R\) läßt sich in der Form \(\sum\limits_\mu e_\mu[\varphi_\mu(x_1,\dots,x_n)]^2\) darstellen, wo \(e_\mu>0\) in \(R\) und \(\varphi_\mu(x_1,\dots,x_n)\) rationale Funktionen mit Koeffizienten aus \(R\) sind (Satz 6).
Hilbert hat an einem Beispiel gezeigt, daß eine definite ganze rationale Funktion mehrerer Variablen nicht immer als Quadratsumme ganzer rationaler Funktionen darstellbar ist (Math. Ann. 32 (1888), 342-350; F. d. M. 20, 198 (JFM 20.0198.*)), während im Falle einer Veränderlichen eine derartige Darstellung nach Landau (Math. Ann. 62 (1906), 272-285; F. d. M. 37, 252 (JFM 37.0252.*)) existiert. Verf. zeigt nun durch eine Modifikation des Landauschen Beweisansatzes, daß für ganze rationale Funktionen die Quadratsummendarstellungen der Sätze 4, 5, 6 so gewählt worden können, daß die Basen der Quadrate in einer willkürlich vorgeschriebenen Veränderlichen ganz rational sind (Satz 9).
Schließlich geht Verf. noch kurz auf die Zerlegung algebraischer Funktionen in Quadrate ein: \(R\) sei der Körper aller reellen Zahlen, \(K=R(x_1,\dots,x_n)\), und \(K(\xi)\) sei eine algebraische Erweiterung von \(K\). Die Realität von \(K(\xi)\) bedeutet dann, daß die algebraische Funktion \(\xi(x_1,\dots,x_n)\) in der Umgebung einer geeigneten Stelle \(x_\nu=a_\nu\), einen reellen Zweig besitzt (Satz 10). Total positiv, also als Quadratsummen darstellbar, sind diejenigen Elemente \(\varphi(\xi,x_1,\dots,x_n)\) von \(K(\xi)\), die an jeder Stelle \(x_\nu=a_\nu\) – höchstens mit Ausnahme gewisser Mannigfaltigkeiten niederer Dimension – für jeden dort vorhandenen reellen Zweig von \(\xi\) nicht negativ ausfallen.

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References:
[1] D. Hilbert, Mathematische Probleme. Göttinger Nachr. 1900, S. 284, Nr. 17.
[2] D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie. Leipzig 1922, S. 106, 107.
[3] D. Hilbert, Über ternäre definite Formen. Acta Math. Bd. 17, S. 169. · JFM 25.0319.01
[4] E. Landau, Über die Darstellung definiter binärer Formen durch Quadrate. Math. Ann. Bd. 57, S. 53. · JFM 34.0241.08
[5] E. Landau, Über die Darstellung definiter Funktionen durch Quadrate. Math. Ann. Bd. 62, S. 272. · JFM 37.0252.01
[6] E. Artin und O. Schreier, Algebraische Koustruktion reeller Körper. · JFM 52.0120.05
[7] E. Landau, Über die Zerlegung total positiver Zahlen in Quadrate. Göttinger Nachr. 1919, 8. 392. · JFM 47.0161.01
[8] D. Hilbert, Über die Darstellung definiter Formen als Summe von Formenquadraten. Math. Ann. Bd. 32, S. 342. · JFM 20.0198.02
[9] Vgl. vor allem die in Anm. 5 zitierte Arbeit.
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