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Über die Einzigkeit der beiden Fundamentalsätze der elementaren Zahlentheorie. (German) JFM 52.0123.01
Die Arbeit handelt von den Zusammenhängen zwischen den beiden Fundamentalsätzen der elementaren Zahlentheorie, dem Satz von der eindeutigen Zerlegbarkeit in Primzahlen und dem quadratischen Reziprozitätsgesetz.
\(\mathfrak K\) sei der Körper der rationalen Zahlen. Nach A. Ostrowski [Acta Math. 41, 271–284 (1917; JFM 46.0169.02)] gibt es für \(\mathfrak K\) folgende Bewertungsmöglichkeiten:
1. Bewertung durch \(r\)-te Potenzen von Absolutbeträgen für \(0<r\le 1\) und
2. \(s_p\)-te Potenzen von \(p\)-adischen Bewertungen für beliebiges \(s_p>0\). Zu jeder Bewertung gibt es im zugehörigen perfekten Körper \(\mathfrak K_p\) bzw. \(\mathfrak K_\infty \) ein System von Charakteren \(\chi_p\) mit folgenden Eigenschaften: \[ \begin{gathered} \chi(0)=0,\;\;\chi(a)\neq0\;\text{für}\;a\neq0,\\ \chi(a)\cdot \chi(b)=\chi(ab),\end{gathered} \] und \(\chi\) ist eine bezüglich der Bewertung stetige Funktion.
Sämtliche Charakterensysteme werden aufgestellt. Es ergibt sich, daß jeder Charakter das Produkt aus dem reduzierten Charakter (der formal mit dem Hilbertschen Normenrestsymbol übereinstimmt) und der Bewertungsfunktion, von der man ausgeht, ist. Wählt man speziell alle Parameter \(s_p\) einander gleich, so erhält man für die Charaktere eine Produktrelation, die beide Fundamentalsätze in sich schließt, nämlich \[ \prod_p \chi_p(a)=\chi_0(a)\,, \] wo \(\chi_0\) der identische Charakter \(\chi_0(0)=0\), \(\chi_0(a)=1\) für \(a\neq 0\) ist.
Sucht man die allgemeinsten Funktionen, die diese Produktrelation befriedigen, so wird man auf die Definition von “verallgemeinerten Normenrestsymbolen” für unendliche Primzahlpotenzprodukte, eine Erweiterung der reduzierten Charaktere, geführt. Aber auch das allgemeinste Produkttheorem läßt sich in die beiden Fundamentalsätze aufspalten. (II 6.)
MSC:
11A05 Multiplicative structure; Euclidean algorithm; greatest common divisors
11A15 Power residues, reciprocity
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Full Text: DOI Crelle EuDML