×

On the question of finitely many steps in the theory of polynomial ideals. (With the use of posthumous theorems by K. Hentzelt). (Zur Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale. (Unter Benutzung nachgelassener Sätze von K. Hentzelt.).) (English) JFM 52.0127.01

Die Arbeit, die unter Benutzung eines Manuskripts von K. Hentzelt entstanden ist, ergänzt die Untersuchungen von Hentzelt (in einer Bearbeitung von E. Noether veröffentlicht in [Math. Ann. 88, 53–79 (1922; JFM 48.0094.03)]) und E. Noether [Math. Ann. 90, 229–261 (1923; JFM 49.0076.04)] zur Eliminationstheorie durch den Nachweis, daß die für ein Polynomideal charakteristischen Funktionen und Ideale – die Elementarteilerform und Resultantenform, die zugehörigen Prim- und Primärideale – in endlich vielen Schritten berechnet werden können.
Zunächst werden Hilfsmittel entwickelt: Im wesentlichen nach Kronecker wird gezeigt, daß die Zerlegung eines Polynoms in mehreren Unbestimmten mit Koeffizienten aus einem Körper in Primfunktionen in endlich vielen Schritten durchführbar ist (vgl. jedoch B. L. van der Waerden [Math. Ann. 102, 738–739 (1930; JFM 56.0825.05)]. Ferner ist es möglich, wenn im Polynomring \(P[x_1, \dots, x_n]\) zwei Ideale durch ihre Basis gegeben sind, in endlich vielen Schritten eine Basis des Produktes, des größten gemeinsamen Teilers, des kleinsten gemeinsamen Vielfachen und des Idealquotienten zu berechnen. Die beiden letzten – nicht trivialen – Tatsachen werden auf Grund des folgenden im wesentlichen auf D. Hilbert [Math. Ann. 36, 473–534 (1890; JFM 22.0133.01)] zurückgehenden Satzes bewiesen:
Für das lineare Gleichungssystem \[ \textstyle \sum\limits_{\sigma=1}^{s} \displaystyle f_{\tau\sigma}z_\sigma=0\qquad(\tau=1,2,\dots t) \] mit Koeffizienten \(f_{\tau\sigma}\) aus \(P[x_1, \dots, x_n]\) läßt sich in endlich vielen Schritten ein vollständiges System von linear unabhängigen Lösungen berechnen; die Polynome des Lösungssystems sind höchstens vom Grad \[ m(t,q,n)=\textstyle \sum\limits_{i=0}^{n-1} \displaystyle (qt)^{2^i}, \] wobei \(q\) den Maximalgrad der \(f_{\tau\sigma}\) bezeichnet.
Dieser Satz, der für die in der Arbeit verwendeten Rechenmethoden typisch ist, führt auch zu einer Entscheidung in endlich vielen Schritten darüber, ob von zwei durch ihre Basis gegebenen Idealen das eine durch das andere teilbar ist.
Ein anderes Teilbarkeitskriterium liefert der Hentzeltsche Nullstellensatz. \(\mathfrak m = (f_1,\dots, f_t)\) sei ein Ideal aus \(P[x_1,\dots,x_n]\), \(\mathfrak p_i\) seien die in \(\mathfrak m\) aufgehenden Primideale und \(\xi_1^{(i)}\), …, \(\xi_n^{(i)}\) je eine allgemeine Nullstelle von \(\mathfrak p_i\) (vgl. das vorstehende Referat oder die oben genannte Arbeit von E. Noether), ferner \[ v_i=(x_1-\xi_1^{(i)},\dots,x_n-\xi_n^{(i)}) \] die zugehörigen Nullstellenideale. Dann lautet der Hentzeltsche Satz: Es gibt eine (in der Arbeit berechnete) Konstante \(\varkappa \), die nur von \(n\), \(t\) und dem Maximalgrad \(q\) der \(f_\tau\) abhängt, so daß für ein Polynom \(g\) aus \[ g\equiv0\;(\mathfrak m,v_i^\varkappa )\;\text{in}\; P(\xi_1^{(i)},\dots,\xi_n^{(i)})\,[x_1,\dots,x_n]\;\text{für alle} \;i \] folgt \[ g\equiv0\,(\mathfrak m)\;\text{in}\;P[x_1,\dots,x_n]. \] Der Satz läßt sich auch so aussprechen: Wenn für jede Nullstelle \(\xi_1\), …, \(\xi_n\) von \(\mathfrak m\) aus dem algebraisch abgeschlossenen Körper über \(P\) \[ g\equiv0\quad(\mathfrak m,\;(x_1-\xi_1,\dots,x_n-\xi_n)^\varkappa ) \] gilt, so ist \[ g\equiv0\quad(\mathfrak m). \]
Zum Nachweis, daß die Grundideale \(\mathfrak g_\varrho\), die Elementarteilerform und die Resultantenform des Ideals \(\mathfrak m\) in endlich vielen Schritten berechnet werden können, wird zunächst gezeigt, daß für den Restklassenring \(\mathfrak g_\varrho/\mathfrak m\) ein Repräsentantensystem von Polynomen gewählt werden kann, deren Gradzahlen unterhalb einer berechenbaren Schranke liegen. Dadurch ist es möglich, sich bei der Anwendung der (auch bei Hentzelt und E. Noether auftretenden) Linearformenmoduln, deren Unbestimmte die Potenzprodukte der \(x_\nu\) sind, auf Moduln mit einer endlichen – durch diese Schranke bestimmten – Anzahl von Unbestimmten zu beschränken. - Die Berechnung eines vollständigen Nullstellensystems von \(\mathfrak m\) ergibt sich dann aus der Möglichkeit der Zerlegung der Resultantenform.
Die Elementarteilerformen der zu \(\mathfrak m\) gehörigen Primideale sind als Faktoren der Resultantenform bekannt. Von da gelangt man im vollkommenen Körper zur Berechnung einer Basis der zugehörigen Primideale; im unvollkommenen Körper ist eine Sonderbetrachtung notwendig, weil man hier aus der Tatsache, daß die Elementarteilerform Primfunktion ist, nicht schließen kann, daß das zugehörige Ideal Primideal ist. – Zur Berechnung eines zu einem Primideal gehörigen Primärideals findet die Schranke \(\varkappa \) des Hentzeltschen Nullstellensatzes Anwendung.
In der Arbeit wird durchweg mit transformierten Idealen gerechnet; der Übergang zu nicht transformierten Idealen macht, soweit die berechneten Funktionen und Ideale eindeutig bestimmt sind, keine Schwierigkeit. Im Falle der nicht eindeutig bestimmten Primärideale muß gezeigt werden, daß die Rechnung wirklich zu transformierten Idealen führt, so daß man auch hier zu nicht transformierten zurückgehen kann. (II 4, 7.)

MSC:

13-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to commutative algebra
13F20 Polynomial rings and ideals; rings of integer-valued polynomials
13Pxx Computational aspects and applications of commutative rings
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI EuDML