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Contribution à l’étude des formes quadratiques à indéterminées conjuguées. (French) JFM 52.0145.04
180 p. Paris, Thèse. J. Hermann (1926).
Verf. bringt zunächst eine ausführliche Darstellung inhaltlich geläufiger Tatsachen: die binären Hermiteschen bzw. quadratischen Formen werden abgebildet auf die Punkte (und die zugehörigen Polarebenen) bzw. die Paare reziproker Polaren der dreidimensionalen hyperbolischen Geometrie (des Poincaréschen Halbraums), und diese Abbildung wird studiert. Jede (komplexe) Abbildung \(z'=\dfrac{az+b}{cz+d}\) liefert eine hyperbolische Bewegung. Man betrachte nun die Gruppe \(\varGamma\) der unimodularen ganzzahligen Transformationen \(\left(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right)\) mit Koeffizienten aus einem quadratischen Körper \(C (\sqrt{-P})\), (ferner im Fall \(P\equiv 3\;(\operatorname{mod} 4)\) die Untergruppe \(\varGamma'\) der Transformationen mit Koeffizienten der Form \(p+q\sqrt{-P}\), \(p\), \(q\) ganz rational). Humbert, an dessen Arbeiten (C. R. 1915, 1919, 1920; F. d. M. 45, 1255 (JFM 45.1255.*); 47, 134-141;) Verf. anknüpft, konstruierte den Fundamentalbereich von \(\varGamma\) im Poincaréschen Halbraum für den Fall \(P\equiv 1, 2 \;(\operatorname{mod} 4)\). Verf. konstruiert den Fundamentalbereich von \(\varGamma\) und \(\varGamma'\) im Fall \(P\equiv 3\;(\operatorname{mod} 4)\), sucht insbesondere die Substitutionen auf, die entsprechende Seiten des Fundamentalbereichs ineinander überführen, ferner die Substitutionen endlicher Ordnung, die eine Kante des Fundamentalbereichs festlassen, und zeigt, wie man die Anzahl Hermitescher Formen von gegebener Diskriminante bestimmen kann, die auf solchen mehrzähligen Kanten liegen (das letzte ist für die Anwendbarkeit einer von Humbert angegebenen Klassenzahlformel wichtig). Für \(P=1\) bis 21 werden die Ergebnisse in ausführlichen Tafeln zusammengestellt. (II 9.)
Citations:
JFM 45.1255.*
Full Text: EuDML