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Über eine Erweiterung des Goldbachschen Problems. (German) JFM 52.0167.04
Verf. untersucht, an eine Arbeit von G. H. Hardy und J. E. Littlewood anknüpfend [Acta Math. 44, 1–70 (1923; JFM 48.0143.04)], unter denselben unbewiesenen Annahmen wie diese die Zerlegung ganzer Zahlen in Primzahlen aus vorgeschriebenen Restklassen eines festen Moduls. Er benutzt dabei eine von ihm schon bei in andrer Richtung liegenden verallgemeinernden Untersuchungen [Hamb. Math. Abh. 3, 109–163 (1924); 3, 331–378 (1924; JFM 50.0102.01)] verwendete von E. Landau [Rend. Circ. Mat. Palermo 46, 349–356 (1922; JFM 48.0144.01)] herrührende Vereinfachung, die es ihm ermöglicht, an Stelle von
\[ \sum_p \chi(p) \, \log px^p, \]
wo \(p\) die Primzahlen in wachsender Reihenfolge durchläuft und \(\chi(p)\) ein Charakter nach dem fraglichen Modul ist,
\[ \sum_p \chi(p) \, x^p \]
als erzeugende Funktion zu benutzen; dies ist für die Abschätzung günstiger.
Den Kern des Verfahrens bildet wie bei Hardy und Littlewood die Methode der Farey-Zerschneidung; durch das Ansetzen der Mellinschen Integralformel kommt die Vermutung über die Lage der Nullstellen der \(L\)-Reihen herein. Verf. gelangt zu einem allgemeinen Satz, von dem Theorem \(B\) und \(C\) bei Hardy und Littlewood (loc. cit., 29–30) einen Spezialfall bilden, und der u. a. folgende Aussage enthält:
Ist \(K > 0\) und ganz und sind, mit ganzem \(m\ge 3\), \(a_1, \ldots, a_m\) zu \(K\) teilerfremd, ist ferner \(\varTheta\) die obere Grenze der Realteile aller Nullstellen aller \(L\)-Funktionen, so folgt aus
\[ \varTheta < \frac 34, \]
daß zu jedem \(K\) und \(m\) unabhängig von den \(a_1, \ldots, a_m\) eine ganze Zahl \(N\) existiert, so daß jedes ganze \(n\) mit
\[ n \equiv \sum_{r = 1}^m a_r \pmod K, \qquad n \equiv m \pmod 2, \qquad n \ge N \]
sich als Summe von \(m\) Primzahlen \(P_1, \dots, P_m\) mit
\[ p_\mu \equiv a_\mu \pmod K \qquad (\mu = 1, \dots, m) \]
darstellen läßt.
Die Abhängigkeit von \(N\) vom Modul \(K\) läßt sich näher angeben.

MSC:
11P32 Goldbach-type theorems; other additive questions involving primes
11P55 Applications of the Hardy-Littlewood method
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