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Über die Gitterpunkte in einem Kreise. (German) JFM 52.0175.01

Es sei \(\varrho \geqq 1\) ganz und \[ \begin{matrix}\l&\;\,\l\\ U(n)&\displaystyle =\sum _{a^2+b^2=n} 1,\\ P(x)&\displaystyle =\sum _{0\leqq n\leqq x} U(n)-\pi x,\\ P_\varrho (y)&\displaystyle =\varrho \int _0^y (y-x)^{\varrho -1}P(x)\cdot dx,\\ \beta _\varrho &\displaystyle =\frac {(\varrho !)^2}{(2\varrho +3)\pi ^{2\varrho +3}} \sum _{n=1}^\infty \frac {U^2(n)}{n^{\varrho +\frac {3}{2}}},\\ R_\varrho (y)&\displaystyle =\int _0^y P^2_\varrho(x)\,dx - \beta _\varrho y^{\varrho +\frac {3}{2}}.\\ \end{matrix} \] Verf. beweist hinsichtlich der \(O\)-Abschätzung, über Ergebnisse von Cramer (1922; F. d. M. 48, 184 (JFM 48.0184.*)) und Landau (1924; F. d. M. 50, 114 (JFM 50.0114.*)) hinausgehend, einerseits \[ R_\varrho (y)=O\,(y^{\varrho +1}) \] und andrerseits \[ R_\varrho (y)=\varOmega \,(y^{\varrho +1}), \] (d. h. bei passendem von \(y\) freiem \(K > 0\) \[ | R_\varrho (y)| >Ky^{\varrho +1} \] für eine Folge ins Unendliche wachsender \(y\)).
Beim Beweis benutzt Verf. den bekannten Zusammenhang zwischen \(P_\varrho (x)\) und einer mit Besselschen Funktionen behafteten unendlichen Reihe, deren absolute Konvergenz den Beweis der \(O\)-Abschätzung, vereinfacht und auch für die \(\varOmega \)-Abschätzung von Bedeutung ist.
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