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Beiträge zur Theorie der Laguerreschen Polynome. II: Zahlentheoretische Anwendungen. (German) JFM 52.0175.03
Bekanntlich ist die Anzahl \(A_k(x)\) der Gitterpunkte in der \(k\)-dimensionalen Kugel \(u_1^2+u_2^2+\cdots +u_k^2\leq x\) asymptotisch gleich \[ V_k(x)=\frac {(\pi x)^{\frac {k}{2}}}{\displaystyle \varGamma \Bigl(\frac {k}{2} + 1\Bigr)}. \] In der vorliegenden Arbeit wird der Rest \(P (x) = A_k(x)-V_k(x)\) mit Hilfsmitteln der reellen Analysis abgeschätzt.
Ausführlich wird der Fall \(k=2\), \(P_2(x)\equiv P(x)= A_2(x)-\pi x\) dargestellt. Zunächst wird der Mittelwert \(\displaystyle \frac {1}{n!}\int _0^\infty e^{-t}t^nP(\xi t)\,dt\) \((\xi >0)\) untersucht. Verf. entwickelt ihn in die Reihe \(\displaystyle \pi \xi \sum _{m=1}^\infty r(m)e^{-\pi ^2m\xi }L_n^{(1)}(\pi ^2m\xi )\) (\(r(m)\) ist die Anzahl der Darstellungen von \(m\) als Summe zweier Quadrate, und die \(L_n^{(1)}(x)\) sind die zum Parameter \(\alpha =1\) gehörigen Laguerreschen Polynome). Mit Hilfe einer in der 1. Mitteilung [Math. Z. 25, 87–115 (1926; JFM 52.0280.04)] bewiesenen asymptotischen Formel für Laguerresche Polynome wird hieraus ein asymptotischer Ausdruck für den obigen Mittelwert gewonnen. Setzt man darin \(\xi =1\), so ergibt sich \(\displaystyle \frac {1}{n!}\int _0^\infty e^{-t}t^nP(t)\,dt=O(n^\frac {1}{4})\). Setzt man dagegen \(\displaystyle \xi=\frac {g}{\log n}\), wo \(g\) eine passend gewählte Konstante ist, so läßt sich durch indirekten Beweis der Hardysche Satz \(P(x)=\varOmega _L(x^\frac{1}{4}\log ^\frac {1}{4}x)\) gewinnen.
Das entsprechende Verfahren führt bei allgemeinem \(k\) auf \[ \frac {1}{n!}\int _0^\infty e^{-t}t^nP_k(t)\,dt=O\Bigl(n^\frac {k-1}{4}\Bigr) \]
\[ \begin{aligned} \noalign{\noindent und auf\vskip -\baselineskip } &P_k(x)=\varOmega _L\Bigl(x^\frac {k-1}{4}\log ^\frac {k-1}{4}x\Bigr), \text{ \;wenn \;} k\equiv 2, 3, 4\pmod 8 \text{ \;und \;}\\ &P_k(x)=\varOmega _R\Bigl(x^\frac {k-1}{4}\log ^\frac {k-1}{4}x\Bigr)\;\, \text{ \;wenn \;} k\equiv 6, 4, 8\pmod 8 \text{ \;ist}. \end{aligned} \]
Neu ist von diesen beiden letzten Ergebnissen: \[ P_3(x) =\varOmega _L\Bigl(x^\frac {1}{2}\log ^\frac {1}{2}x\Bigr). \]

MSC:
11P21 Lattice points in specified regions
33C45 Orthogonal polynomials and functions of hypergeometric type (Jacobi, Laguerre, Hermite, Askey scheme, etc.)
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