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Über die Grundlegung der Mengenlehre. I: Die Mengen und ihre Axiome. (German) JFM 52.0192.01
Diese Abhandlung enthält einen Versuch, die Mengenlehre so zu begründen, daß sie einerseits nicht zu Antinomien führt und andrerseits eine absolute und eindeutig bestimmte Theorie wird.
Die Einstellung des Verf. tritt schon in der Einleitung scharf hervor, indem er dort sagt, daß es für die Wahrheit oder Falschheit mathematischer Sätze ganz gleichgültig ist, ob wir sie mit unseren menschlichen Mitteln beweisen oder widerlegen können. Viele werden es aber wohl unklar finden, was es eigentlich heißt, daß ein unentscheidbarer Satz “wahr” oder “falsch” ist.
In Kap. 1, § 1, bespricht er zuerst die falsche, zur Russellschen Antinomie führende, Annahme, daß man mit einem Bereich von Dingen so räsonnieren kann, daß irgendwelche der Dinge zu Mengen zusammengefaßt werden können, die wieder Dinge des Bereiches sind. In § 2 spricht er von zirkelhaften Definitionen. Die späteren Betrachtungen des Verf., daß eine Menge gewisser Dinge nicht mit deren Inbegriff oder Gesamtheit identisch ist, sondern nur ein diesen Dingen zugeordnetes Ding, scheinen dem Ref. nur Wortspiel zu sein; denn jede Zusammenfassung von Dingen, ganz gleichgültig, ob sie Menge, Inbegriff oder Gesamtheit genannt wird, kann als ein solches zugeordnetes Ding angesehen werden.
In Kap. 2 stellt Verf. seine Axiome auf. Nach Axiom I soll es immer “entschieden sein”, ob \(M\beta N\) (d. h. \(N\) ist Element von \(M\)) stattfindet oder nicht. Nach Axiom II sollen \(M\) und \(N\) identisch sein, wenn alle in \(M\) wesentlichen Mengen (d. h. Elemente von \(M\), Elemente der Elemente von \(M\) usw.) den in \(N\) wesentlichen Mengen eineindeutig und \(\beta\)-beziehungstreu zugeordnet werden können. Axiom III ist ein Vollständigkeitsaxiom; es sagt aus, daß der betrachtete Bereich von Mengen maximal sein soll. Es scheint doch klar zu sein, daß jeder Bereich, der den Axiomen I und II genügt, erweiterungsfähig sein muß, falls man nicht die Bildung neuer Dinge verbieten will, z. B. verbieten, die aus den Dingen des Bereiches gebildeten Gesamtheiten als neue Dinge anzusehen, was sinnlos erscheint. (Vgl. R. Baer, Über ein Vollständigkeitsaxiom in der Mengenlehre, M. Z. 27 (1928), 536-539; F. d. M. 54, 90.) Weiter ist klar, daß die Forderung, daß das betrachtete System das größte ist, das I und II genügt, nur dann eine absolute Bedeutung haben kann, wenn die Gesamtheit aller Systeme schon sonst eindeutig bestimmt ist; aber dann müßte es wohl ein erst zu lösendes Problem sein, ob darin ein größtes vorkommt. Bei der näheren Besprechung des Axioms III in § 10 sagt Verf., daß eine Menge existiert, wenn die Annahme ihrer Existenz nicht zu einem Widerspruch mit I und II führt. Es scheint aber dem Ref. ganz unlogisch zu sein, eine solche Erklärung der Existenz von Dingen aufzustellen innerhalb einer Theorie, worin die Dinge nicht isolierte logische Gebilde sind, sondern in den mannigfaltigsten Beziehungen zueinander stehen. Falls die Annahme der Existenz von \(M\) und Nichtexistenz von \(N\) keinen Widerspruch gibt, und auch nicht die Existenz von \(N\) mit Nichtexistenz von \(M\), während die Annahme der Existenz sowohl von \(M\) wie \(N\) einen Widersprach gibt, was sollte dann eigentlich existieren? Wie stünde es dann mit der Eindeutigkeit der Theorie? Und was heißt übrigens “Widerspruch” in der Finslerschen Theorie? Nach der Erklärung in der Einleitung braucht “Widerspruch” nicht “nachweisbarer Widerspruch” zu sein; man vermißt dann aber eine genauere Erklärung.
In § 9 meint der Verf., ganz unbeschränkt Vereinigungen und Durchschnitte von Systemen bilden zu können. Er hat keine Skrupel, was nicht-prädikative Definitionen hier betrifft, so daß er es nicht nötig findet, Stufenunterscheidungen zu machen.
In Kap. 3, das von der Bildung von Mengen handelt, führt er die Begriffe “zirkelfrei” und “zirkelhaft” ein. Eine Menge \(M\) soll zirkelfrei heißen, wenn sie und die darin wesentlichen Mengen vom Begriff zirkelfrei unabhängig sind, d. h. die Definition von \(M\) liefert immer dieselbe Menge, gleichgültig, welche Mengen als zirkelfrei bezeichnet werden. Sonderbar ist es hier, daß der Begriff zirkelfrei keinen Zusammenhang mit der Urbeziehung \(\beta\) hat. Außerdem ist die doppelte Anwendung des Begriffes zirkelfrei, einmal beliebig variierend, um die Wirkung auf Definitionen zu untersuchen, und einmal konstant oder endgültig, natürlich geeignet, zur Verwirrung zu führen. Um die Sache klar zu machen, müßte man ausdrücklich das eine Mal “variierend zirkelfrei” und das andere Mal “endgültig zirkelfrei” sagen. Tut man aber das, so scheint es, daß man zu andern Ergebnissen kommt als Verf. Satz 11 sagt aus, daß die Gesamtheit der zirkelfreien Mengen eine zirkelhafte Menge ist. Es ist aber klar, daß die Gesamtheit der endgültig zirkelfreien Mengen wieder eine endgültig zirkelfreie Menge sein muß, sofern sie überhaupt eine Menge ist; denn die beliebig variierte vorläufige Verteilung der Etiketten “zirkelfrei” und “zirkelhaft” kann ja eben keinen Einfluß haben auf die Existenz der endgültig zirkelfreien Mengen.
In der Definition der “festen” Gesamtheit S. 705 spielt der Ausdruck “innerer Widerspruch” eine wesentliche Rolle. Was heißt eigentlich das? In § 17 wird das Auswahlprinzip “bewiesen” durch die Berufung auf Einführbarkeit ohne Widerspruch. Alles geht also sehr leicht.
Finslers Arbeit ist natürlich ein wohlgemeinter Versuch, die klassische Mengenlehre in ihrem vollen Umfange zu retten. Man muß aber wohl sagen, daß der Versuch verfehlt ist. (I 2.)

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