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Sur la sommation des séries par les procédé des moyennes typiques. (French) JFM 52.0218.01

Bulletin Acad. Polonaise 1925, 265-287 (1925).
Es sei \(\varkappa > 0\) und \((\lambda_n)\) eine eigentlich monotone und gegen \(+\infty\) strebende Zahlenfolge. Dann heißt die Reihe \(\sum\limits _0^\infty a_nR(\lambda,\varkappa)\)-summierbar zum Werte \(s\), wenn \[ R_x(\lambda,\varkappa) = \sum_{\lambda_n<x}a_n\left(1-\frac {\lambda_n}x\right)^\varkappa \] für \(x \to \infty\) gegen \(s\) strebt.
Jeder eigentlich monotonen und gegen \(+ \infty\) strebenden Zahlenfolge \((\lambda_n)\) wird bei geeigneter Wahl der Funktion \(\mu(\lambda)\) eine Folge \((\mu_n)\) zugeordnet, die ebenfalls eigentlich monoton gegen \(+\infty\) strebt. Für solches \((\mu_n)\) wird \[ R_x(\mu,\varkappa)=\sum_{\mu_n<x}a_n \left(1-\frac{\mu_n}x\right)^\varkappa \] untersucht, d. h. nach der \(R(\mu,\varkappa)\)-Summierbarkeit von \(\sum a_n\) gefragt. In dieser Richtung gilt:
Wenn \(\sum\limits_0^\infty a_n R(\lambda,\varkappa')\)-summierbar ist, und wenn für \(\mu(x)\) \[ \frac{x\cdot \mu'}\mu = o(1), \quad \text{sowie} \quad R_x(\lambda,\varkappa) = o\left(\left(\frac \mu{x\cdot \mu'}\right)^\varkappa\right) \] mit \(0 < \varkappa < \varkappa'\) gilt, dann ist \(\sum a_n\) auch \(R(\mu,\varkappa)\)-summierbar.
Wenn \(\mu(\lambda)\) eine \(L\)-Funktion der Eigenschaft \[ \frac 1{\mu(\lambda)} =o(\lambda^{\varDelta}) \;\text{für jedes} \;\varDelta < 0 \] und \[ \mu(\lambda) = \left\{ \begin{matrix} \l \quad & \l \\ o(\exp (\delta\lambda)), &\text{falls} \;0<\alpha \leqq 1\\ \\ o(\exp (\delta\lambda^{\frac 1\alpha})), &\text{falls} \;1 \leqq \alpha \\ \end{matrix} \right\} \quad \text{für jedes} \;\delta > 0 \] ist, wenn weiter \[ R_x(\lambda,\varkappa)=o\left(\left(\frac \mu{x\mu'}\right)^\varkappa\right) \] gilt, dann ist \(\sum a_n\) \(R(\mu,\varkappa)\)-summierbar.
Die Beweise sind so gestaltet, daß die über \(\mu(x)\) gemachten Voraussetzungen nicht voll benutzt werden; dies wird verwendet, um weitere Sätze der oben genannten Art zu geben.