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Über Definitionsbereiche von Funktionen. (German) JFM 52.0239.01
Vorliegende Arbeit ist gewissermaßen eine Fortsetzung der in Math. Ann. 93 (1925), 244-257; 95 (1925), 453-472; 96 (1926), 451-488 erschienenen “Zur Begründung der intuitionistischen Mathematik” (F. d. M. 51, 164 (JFM 51.0164.*); 52, 193). Es wird zunächst der Satz bewiesen, daß jede volle (d. h. im ganzen Einheitskontinuum definierte Funktion) stetig ist (in dem Sinne, daß die Funktionswerte zu einer positiv konvergenten Folge negativ gegen den bisherigen Funktionswert konvergieren). Dieser Satz ist nicht so merkwürdig, wie es zuerst scheint. Existiert nämlich ein Unstetigkeitspunkt, so ist es leicht, durch eine freie Wahlfolge einen Argumentwert zu erzeugen, für den die Funktion nicht definiert ist, indem man sich die Freiheit vorbehält, bei der Erzeugung des Punktes auf die Unstetigkeitsstelle zuzusteuern oder nicht (will man nicht von freien Wahlfolgen Gebrauch machen, so braucht man sich nur auf ein ungelöstes Problem zu berufen).
Tiefer liegt der Satz von der gleichmäßigen Stetigkeit jeder vollen Funktion. Er beruht auf einer Art Heine-Borelschen Theorems: Ist jedem Element einer finiten Menge (jeweils endlich viele Verzweigungen) eine natürliche Zahl zugeordnet, so läßt sich eine natürliche Zahl \(z\) angeben, so daß bei allen Elementen bereits nach \(z\) Wahlakten das Zuordnungsergebnis festliegt. Anschaulicher läßt sich dieser Hauptsatz so formulieren: Stirbt jeder Zweig einer Familie nach endlich vielen Generationen aus, so ist nach endlich vielen Generationen die ganze Familie ausgestorben. Bewiesen wird der Satz, indem der ganze Stammbau nach dem Sukzessionsprinzip durchlaufen und so eine endliche Menge erzeugt wird. Aus diesem Satz folgt leicht die gleichmäßige Stetigkeit der vollen Funktion.
Dieser Satz zieht die Notwendigkeit der Einführung ”pseudovoller” Definitionsbereiche von Funktionen nach sich. Der Klärung dieses Begriffs dient der Rest der Arbeit. Von einem pseudovollen Definitionsbereich wird man, da in der klassischen Mathematik unstetige Funktionen hauptsächlich in der reellen Analysis untersucht werden, eine Inhaltseigenschaft fordern, und zwar nennt Verf. die beiden folgenden: 1. Der Definitionsbereich hat in jeder Maßbestimmung, in der er meßbar ist, den Inhalt Eins, und er ist in wenigstens einer meßbar. 2. Der Definitionsbereich hat in jeder Maßbestimmung den Inhalt Eins. Diese Inhaltseigenschaft reicht aber nicht aus, denn ihr genügen auch Bereiche, die auch vom klassischen Standpunkt nicht mit dem Einheitskontinuum zusammenfallen; man braucht noch eine Verschmelzungseigenschaft. Eine Reihe von Beispielen zeigen, daß die zweckmäßige Forderung die der Kongruenz (vgl. die erste der oben zitierten Arbeiten) mit dem Einheitskontinuum ist; die Beispiele zeigen ferner, daß man die gleichzeitige Forderung der Inhaltseigenschaft nicht entbehren kann, und daß man zweckmäßig die zweite der oben erwähnten Eigenschaften wählt.

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References:
[1] Math. Annalen93, S. 253.
[2] Journ. f. Math.154, S. 6.
[3] Math. Annalen95, S. 467.
[4] loc. cit. 2), Journ. f. Math.154, S. 455.
[5] Vgl. Amsterdamer Proceedings 27, S. 189-193; 644-646.
[6] Genau so wie im allgemeinen wohlgeordnete Spezies mittels der beiden erzeugenden Operationen aus Urspezies (vgl. meinen Aufsatz ?Zur Begr?ndung der intuitionistischen Mathematik III?, Math. Annalen 96, S. 451) werden insbesondere mathematische Beweisf?hrungen mittels der beiden erzeugenden Operationen aus Nullelementen und der Intuition unmittelbar gegebenen Elementarschl?ssen hergestellt (wobei allerdings die Beschr?nkung besteht, da? immer ein letzter Elementarschlu? auftritt). Diesegedanklichen, im allgemeinen unendlichviele Glieder aufweisenden mathematischen Beweisf?hrungen d?rfen mit ihren endlichen, notwendigerweise inad?quaten, mithin nicht zur Mathematik geh?renden sprachlichen Begleitungen nicht verwechselt werden. Die vorstehende Bemerkung enth?lt mein Hauptargument gegen die Anspr?che der Hilbertschen Metamathematik; ein zweites Argument ist dieses, da? die Erledigung der (?brigens dem Intuitionismus entnommenen) Sicherheitsfrage des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten, von Hilbert in einem circulus vitiosus gesucht wird; wenn man n?mlich die Richtigkeit dieses Satzes mittles des Beweises seiner Widerspruchsfreiheit begr?nden will, so wird dabei das Prinzip der Reziprozit?t der Komplement?rspozies, mithin der Staz vom ausgeschlossenen Dritten selbst (vgl. Jahresber. d. D. M.-V.33, S. 252) implizite vorausgesetzt.
[7] Falls die Versicherbarkeit vonF sn 1... n r bei mehreren Beweisf?hrungenk sn 1... n r oder an mehreren Stellen einer und derselben Beweisf?hrungk sn 1... n r festgestellt wird, so sind die entsprechendenT sn 1... n r alle erzeugungsgleich, wie sich mittels der induktiven Methode an der Hand der Entstehung einer von ihnen ergibt. F?r den obigen Beweis ist diese Bemerkung ?brigens ?berfl?ssig.
[8] Wenn wir in analoger Weise eine passende, mit der Spezies derPunktkernpaare des Einheitskontinuums zusammenfallendefinite Menge von Punktepaaren betrachten, so ergibt sich auf Grund von Theorem 2 m?helos dieUnzerlegbarkeit des Kontinuums, d. h. die Eigenschaft, da? bei einer beliebigen Zerlegung des Einheitskontinuums in eine diskrete Spezies von Teilspezies eine dieser Teilspezies mit dem Einheitskontinuum identisch ist.
[9] In den Amsterdamer Proceedings15, S. 1262 wird dieser Begriff in einem Sinne eingef?hrt, der im allgemeinen Falle von dem hier gebrauchten verschieden ist. Der enge Zusammenhang der beiden Definitionen geht aus Fu?note 12) hervor.
[10] Jahresber. d. D. M.-V.33, S. 255.
[11] Die intuitionistische Theorie des Inhaltes und der Me?barkeit findet sich kurz skizziert in den Amsterdamer Verhandelingen (1. Sektion)12, Nr. 7, und wird ausf?hrlich dargestellt in einem demn?chst in diesen Annalen erscheinenden Aufsatz der Serie ?Zur Begr?ndung der intuitionistischen Mathematik?.
[12] Vgl. in diesem Zusammenhang Enseignement Math.13, S. 377.
[13] Jahresber. d. D. M.-V.33, S. 255. Man bemerke die ?quivalenz der Begriffe ?Verflechtung? und ?Zusammenfallung? im Falle, da? der Satz vom ausgeschlossenen Dritten richtig ist.
[14] Jahresber. d. D. M.-V.33, S. 252.
[15] Vgl. Amsterdamer Verhandelingen (1. Sektion)12, Nr. 7, S. 8,13, sowie die demn?chst in diesen Annalen erscheinende ausf?hrlichere Darstellung in einem Aufsatz der Serie ?Zur Begr?ndung der intuitionistischen Mathematik?.
[16] Aus der Darstellung des Textes geht ?brigens hervor, da? f?r diesen Inhalt ein beliebiger zwischen 0 und 1 gelegener und sowohl von 0 wie von 1 positiv-verschiedener Wertvvorgeschrieben werden kann.
[17] Vgl. Amsterdamer Verhandelingen (1. Sektion)12, Nr. 7, S. 22, 23, sowie die denn?chst in diesen Annalen erscheinende ausf?hrlichere Darstellung in einem Aufsatz der serie ?Zur Begr?ndung der intuitionistischen Mathematik?.
[18] Math. Annalen93, S. 246.
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