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Sur la sommabilité des séries de Fourier des fonctions vérifiant la condition de Lipschitz. (French) JFM 52.0271.02

Bulletin Acad. Polonaise 1925, 1-9 (1925).
Verf. sagt von einer Funktion \(f(x)\), sie genüge in einem gewissen Intervall einer Lipschitzbedingung der Ordnung \(\alpha\) im engeren Sinn (der Ordnung \((\alpha)_\varepsilon\)), wenn gleichmäßig für alle \(x_1\), \(x_2\) aus diesem Intervall \[ |f(x_1)-f(x_2)|\leqq\varepsilon(x_1,x_2)|x_1-x_2|^\alpha \] mit \[ \lim_{(x_1-x_2)\to0}\varepsilon(x_1,x_2)=0 \] gilt. Dann wird mittels einer von Kogbetliantz herrührenden Abschätzung der Cesàroschen Teilsummen \(\alpha\)-ter Ordnung der Reihe \(\frac12+\sum\limits_{\nu=1}^\infty\cos\nu x\) bei \(-1<\alpha<+1\) (s. z. B, Szegö 1927; F. d. M. 53, 247 (JFM 53.0247.*)) der Satz bewiesen:
Die Fouriersche Reihe einer Funktion \(f (x)\) der Periode \(2\pi\), die überall die Lipschitzbedingung der Ordnung \((\alpha)_\varepsilon\), (\(0<\alpha<1\)) erfüllt, ist gleichmäßig \((C,-\alpha)\)-summierbar zu \(f (x)\).
Aus diesem Satz werden noch einige Folgerungen gezogen; insbesondere ergibt sich (durch Kombination mit Resultaten aus der in F. d. M. 51, 219 (JFM 51.0219.*)-220 besprochenen Arbeit des Verf.) ein Satz über \((C,-\alpha)\)-Summierbarkeit einer trigonometrischen Reihe mit Koeffizienten der Größenordnung \(o\,(n^{-\alpha})\) \((0 <\alpha< 1)\), die Poisson-summierbar ist zu einer Funktion, die einer Lipschitzbedingung der Ordnung \((\alpha)_\varepsilon\) genügt.