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The Borel summability of Fourier series. (English) JFM 52.0273.02
Bekanntlich ist das Borelsche Summierungsverfahren, angewendet auf Fourierreihen, verhältnismäßig wenig wirksam. Verf. zeigt, daß, wenn \(f (x)\) Lebesgue integrabel in \((0,1)\) ist, und wenn \[ K (x - y, t) = 1 + \sum_{n=1}^\infty\frac{2t^n}{n!}\cos 2n\pi(x - y) \] gesetzt wird, so daß also die Borelsche Summe der Fourierschen Reihe von \(f(x)\) \[ \int\limits_0^\infty e^{-t}\int\limits_0^1f(y)K(x- y,t)\,dy\,dt \] ist, fast überall in \((0,1)\) gilt: \[ \displaylines{\rlap{\indent(1)}\hfill \lim_{T\to\infty}\int\limits_0^T\left(1-\frac tT\right)e^{-t} \int\limits_0^1f(y)K(x- y,t)\,dy\,dt=f(x), \hfill} \] und daß bei stetigem \(f (x)\) das Doppelintegral in \((0,1)\) gleichmäßig gegen seinen Grenzwert strebt. Da das in (1) verwendete Summierungsverfahren im wesentlichen eine Kombination des \(Borel\)schen Verfahrens mit dem \((C, 1)\)-Verfahren ist, so war dieses Ergebnis zu erwarten. Verf. verallgemeinert es dann in folgendem Sinne. \(G (x, y, \lambda)\) sei die Greensche Funktion für das Differentialsystem \[ u'+\lambda u=0,\;u(0) = u(1); \] \(C_1\) sei der Rand des Kurvenvierecks \[ \tfrac12\pi-\beta\leqq\arg\lambda\leqq\tfrac12\pi+\beta,\;\lambda_0\leqq\lambda\leqq\varLambda, \] wo \(\beta\) ein hinreichend kleiner positiver spitzer Winkel ist und \[ 0<\lambda_0<2\pi,\;|\varLambda-2n\pi|\geqq\varepsilon>0; \] ferner sei \(C_2\) das Bild von \(C_1\) nach Spiegelung an der reellen \(\lambda\)-Achse. Setzen wir dann \[ \varPhi(x,y,t)=1+\frac1{2\pi i}\lim_{\varLambda\to\infty} \left\{\int\limits_{C_1}\frac{t^{-\lambda i}}{\varGamma(1-i\lambda)} G(x,y,\lambda)\,d\lambda+ \int\limits_{C_2}\frac{t^{\lambda i}}{\varGamma(1+i\lambda)} G(x,y,\lambda)\,d\lambda\right\}, \] so gilt für in \((0,1)\) \(Lebesgue\)-integrierbares \(f (x)\): \[ \lim_{T\to\infty}\int\limits_0^T\left(1-\frac tT\right)e^{-t} \int\limits_0^\infty f(y)\,\varPhi(x, y,t)\,dy\,dt=f(x) \] fast überall in \((0,1)\), und wieder strebt für in \((0,1)\) stetiges \(f (x)\) das Doppelintegral auf der linken Seite gleichmäßig gegen seinen Grenzwert in \(0 < a\leqq x\leqq b < 1\).
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