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On the continuity module of the sum of the series conjugate to a Fourier series. (O module ciagłości sumy szeregu sprzȩżonego z szeregiem Fouriera. Sur le module de continuité de la somme de la série conjuguée de la série de Fourier.) (Polish. French summary) JFM 52.0274.03

Im Anschluß an Ergebnisse von Fatou (1900; F. d. M. 37, 283 (JFM 37.0283.*)) und Priwaloff (1916; F. d. M. 46, 540 (JFM 46.0540.*)) beweist Verf. den folgenden Satz:
Ist \(\omega(\delta)\) der Stetigkeitsmodul einer periodischen Funktion \(f (x)\) mit der Periode \(2\pi\), d. h. \[ \omega(\delta)=\max_{|x_2-x_1|\leqq\delta}|f(x_2)-f(x_1)|, \] so gilt für den Stetigkeitsmodul \(\omega_1(\delta)\) der zu \(f (x)\) konjugierten Funktion \[ \omega_1(\delta)\leqq C\left(\int\limits_0^\delta\frac{\omega(t)}t\,dt+ \delta\int\limits_0^\pi\frac{\omega(t)}{t^2}\,dt\right), \] wobei die Konstante \(C\) von \(\delta\) unabhängig ist. Dieses Ergebnis läßt sich insofern nicht verbessern, als Verf. zeigt, daß man zu jedem differenzierbaren \(\mu(x)\) mit folgenden Eigenschaften:
\(\mu(0) = 0\), \(\mu(x)\) nicht abnehmend, \(\mu'(x)\) nicht zunehmend für \(0\leqq x\leqq\pi\), \[ \int\limits_0^\pi\frac{\mu(t)}t\,dt\;\text{divergent}, \] eine stetige Funktion \(f (x)\) mit der Periode \(2\pi\) konstruieren kann, für deren \(\omega(\delta)\) in \(0\leqq\delta\leqq\pi\) gilt \[ \omega(\delta)\leqq\mu(|\delta|), \] und deren konjugierte Funktion \(g(x)\) unstetig (und sogar unbeschränkt) ist.

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Full Text: EuDML