Remarque sur la sommabilité des séries de fonctions orthogonales. (French) JFM 52.0277.03

Zygmund, A.

Bulletin Acad. Polonaise 1926, 185-191 (1926).

s sei \(\varphi_0(x)\), \(\varphi_1(x)\),…eine Folge normierter Orthogonalfunktionen. \(f (x)\) sei gegeben; es existiere das Lebesguesche Integral \(\int\limits_a^bf^2(x)\,dx\), ferner sei \(a_n =\int\limits_a^bf(x)\varphi_n(x)\,dx\). M. Kaczmarz hat folgendes bewiesen (F. d. M. 51, 226 (JFM 51.0226.*)): Ist die Reihe \(\sum\limits_0^\infty a_n\varphi_n(x)\) fast überall in \((a, b)\) (mit Ausnahme einer Menge vom Maße Null) “Poisson-summabel”, d.h. existiert \(\lim\limits_{s\to1}\sum\limits_0^\infty a_n\varphi_n s^n\), so ist sie auch summabel \((C, 1)\).
Verf. verallgemeinert dies dahin, daß die Reihe auch \((C, \varepsilon)\)-summabel ist, wenn \(\varepsilon > 0\).

Reviewer: Hahn, Wolfgang, Studienassessor Dr. (Berlin)

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Allgemeine Theorie der reellen Funktionen. D. Trigonometrische Reihen und Verwandtes.

Citations:

JFM 51.0226.*