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Leçons sur les séries d’interpolation. Rédigées par R. Lagrange. (French) JFM 52.0301.04
VII + 236 p. Paris, Gauthier-Villars (Collection de monographies sur la théorie des fonctions) (1926).
Die ersten fünf Kapitel sind den Interpolationsreihen von Stirling und Newton gewidmet, d. h. den Reihen der Form \[ \sum_{s=0}^\infty (a_s+a_s'z) z(z^2-1^2)(z^2-2^2) \cdots (z^2-s^2) \tag{1} \] bzw. der Form \[ \sum_{s=0}^\infty(-1)^s a_s\binom{z-1}s. \tag{2} \] Dabei wird im wesentlichen das gebracht, was Verf. selbst in einer früheren Untersuchung erarbeitet hat (1922; F. d. M. 48, 382 (JFM 48.0382.*)-384). Im sechsten (letzten) Kapitel werden die Fakultätenreihen behandelt, d. h. die Reihen der Form \[ \sum_{s=0}^\infty \frac{a_s s!}{z(z+1)\cdots(z+s)}\,. \tag{3} \] Hier folgen nach den grundlegenden Sätzen, die zumeist von Landau herrühren (1906; F. d. M. 37, 278 (JFM 37.0278.*)-280), hauptsächlich Untersuchungen über die analytische Fortsetzung einer durch eine Reihe (3) gegebenen Funktion mittels Umrechnung in eine Reihe der Form \[ \sum_{s=0}^\infty \frac{b_ss!}{(z+\varrho)(z+\varrho+1)\cdots (z+\varrho+s)} \tag{4} \] oder der Form \[ \sum_{s=0}^\infty \frac{c_s\omega^ss!}{z(z+\omega)\cdots(z+s\omega)}\,; \tag{5} \] ferner Kriterien für die Entwickelbarkeit einer Funktion in eine Fakultätenreihe. Insbesondere ergibt sich der Satz: Dafür, daß eine Funktion \(F(z)\) in eine Reihe der Form (5) entwickelt werden kann, ist notwendig und hinreichend, daß die Funktion \[ \left(F(z)-\frac{c_0}z\right) z^2 \] in einer Halbebene \(\operatorname{Re} (z)\geqq k > 0\) regulär und beschränkt ist, und daß die für positive \(x\) durch die Formel \[ f(x)=\frac1{2\pi i}\int\limits_{k-i\infty}^{k+i\infty} e^{xz} F(z)\, dz \] definierte Funktion \(f (x)\) in einem die positive Achse einschließenden Streifen regulär ist und daselbst der Bedingung genügt: \[ \lim_{|x|\to\infty} e^{-kx}f(x) = 0. \]
Eine Bibliographie mit 105 Nummern beschließt den Band.
Besprechungen: N. E. Nörlund, Bulletin sc. Math. (2) 51 (1927), 196-198; G. Belardinelli, Bollettino U. M. I. 6 (1927), 220-221; I. G. A. Ude, Revista mat. hisp.-amer. (2) 2 (1927), 66-57.