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Sur les familles complexes et leurs applications. (French) JFM 52.0307.04
Kap. I. Es werden \(\nu \) in einem Bereich \(B\) reguläre analytische Funktionen \(f_1(z),\ldots,f_\nu (z)\) betrachtet. Eine Ausnahmekombination heißt eine Funktion \[ \lambda _1f_1(z) +\cdots + \lambda _\nu f_\nu (z) \] mit Konstanten \(\lambda _k\), die in \(B\) Nullstellen hat (ohne identisch zu verschwinden). Sind die \(f_k(z)\) ganz, so gibt es höchstens \(2\nu-1\) Ausnahmekombinationen. Ferner wird ein Kriterium dafür gegeben, daß eine Familie von solchen Systemen von je \(\nu \) Funktionen normal ist.
Kap. II. Es werden einige spezielle Familien von Funktionenpaaren, Funktionentripeln usw. betrachtet. Es ergeben sich Sätze, die als Verallgemeinerungen bekannter Sätze aus dem Picardschen Kreis anzusprechen sind. Z. B: Es seien drei Funktionen \[ \begin{aligned} &f=a_0+a_1z+\cdots \\ &g=b_0+b_1z+\cdots \\ &h=c_0+c_1z+\cdots \\ \end{aligned} \] in der Umgebung von \(z= 0\) regulär. Es sei \[ \displaylines { \varDelta =\left|\begin{matrix}&\;\;&\;\;\\ 1 &1 &1\\ a_0 &b_0 &c_0\\ a_0^2 &b_0^2 &c_0^2\\ \end{matrix}\right|, \quad \quad \varDelta _1=\left|\begin{matrix}&\;\;&\;\;\\ 1 &1 &1\\ a_0 &b_0 &c_0\\ a_1 &b_1 &c_1\\ \end{matrix}\right| \neq 0. } \] Es sei \[ \varphi =\frac {f-h}{g-h}= \gamma _0+\gamma _1z +\cdots . \] Es werden drei Zahlen \(e_1\), \(e_2\), \(e_3\) aus \[ \begin{aligned} &e_1+ e_2+ e_3=0,\\ &\;\frac {e_2-e_3}{e_1-e_3}=\gamma _0 \end{aligned} \] bestimmt. Es sei \(Q\) der Flächeninhalt des Periodenparallelogramms der zu diesen \(e\) gehörigen \(\wp \)-Funktion. Endlich sei \[ R=\frac {2Q}{\pi }\,\Bigl|\frac {\varDelta }{\varDelta _1}\Bigr|. \] Dann ist in jedem Kreis von einem Radius größer als \(R\) um den Ursprung entweder eine der Funktionen singulär, oder es nehmen zwei derselben in einem Punkt dieses Kreises den gleichen Wert an. Es folgt eine größere Zahl verwandter Sätze.
Kap. III. Es werden Funktionenpaare betrachtet, zwischen denen eine algebraische Relation vom Geschlechte Null oder Eins besteht. Um hier Sätze analog einem bekannten Picardschen (Geschlecht größer als Eins) zu gewinnen, muß man noch einen (\(p = 1\)) oder drei (\(p=0\)) Ausnahmepunkte des betreffenden algebraischen Gebildes einführen, die Wertepaaren entsprechen, welche das zu untersuchende Funktionenpaar nicht annimmt.
Kap. IV. Gegeben zwei zueinander apolare Gleichungen \[ \begin{gathered} u^\nu +f_1u^{\nu -1} +\cdots +f_\nu =0\\ \lambda _\nu u^\nu - \binom \nu 1 \lambda _{\nu -1}u^{\nu-1} +\cdots +(-1)^\nu \lambda _0=0, \end{gathered}\tag{3} \] für die also \[ \lambda _0 +\lambda _1f_1+\lambda _2f_2+\cdots +\lambda _nu f_\nu =0 \] ist. Verf. sagt dann auch, die Wurzeln \(u_1,\ldots, u_\nu \) der ersten lägen mit den Wurzeln \(a\), \(b,\ldots \), \(f\) der zweiten in Involution.
Nun seien \(f_1(z),\ldots \), \(f_\nu (z)\) ganze Funktionen, und es sei durch \[ u^\nu +f_1(z)u^{\nu -1} +\cdots +f_\nu (z) =0\tag{4} \] eine algebroide Funktion \(u (z)\) erklärt. Die Koeffizienten \(\lambda \) der zweiten Gleichung seien nach wie vor konstant. Wenn es nur endlich viele \(z\)-Werte gibt, für die (3) una (4) apolar sind, so sagt man, die Involution sei singulär, oder die Wurzeln von (3) seien ein Ausnahmesystem der algebroiden Funktion. Verf. folgert aus Kap. I, daß die Zahl der Ausnahmeinvolutionen von (4) höchstens \(2\nu -1\) beträgt. Sind die Wurzeln von (3) alle gleich einer Zahl \(a\), und ist die zugehörige Involution Ausnahmeinvolution, so ist \(a\) Ausnahmewert im Sinne von Rémoundos. Das führt zur Definition der Ordnung eines Ausnahmewertes. Der Verf. sagt, \(a\) habe als Ausnahmewert die Ordnung \(\alpha \), wenn \(a\) Ausnahmewert der \(\alpha \) algebroiden Funktionen ist, die durch die folgenden Gleichungen definiert sind: \[ f(z,u)=0,\;\frac {\partial f}{\partial u} (z,u)=0,\ldots, \frac {\partial ^{\alpha -1}f}{\partial u^{\alpha -1}}(z,u)=0. \] Die Summe der Ordnungen der Ausnahmewerte von (4) kann dann \(2\nu -1\) nicht übersteigen. Hat ein Ausnahmewert die Ordnung \(\nu \), so existieren \(\nu \) Ausnahmekombinationen der \(f\) im Sinne von Kap. I. Sie sind so gebaut: \[ \begin{aligned} &F_1=\lambda _0^1+\lambda _1^1f_1,\\ &F_2=\lambda _0^2+\lambda _1^2f_1 +\lambda _2^2f_2, \\ &......................................................\\ &F_\nu =\lambda _0^\nu +\lambda _1^\nu f_1+\cdots +\lambda _\nu ^\nu f_\nu . \end{aligned} \] Hat man zwei Ausnahmewerte der Ordnung \(\nu \), so hat man zwei solche Tafeln von Ausnahmefunktionen \[ F_1,\ldots,F_\nu \text{ \;und \;} G_1,\ldots,G_\nu . \] Abstand der beiden Tafeln für ein festes \(z\) heißt die kleinste der Differenzen \[ |F_1-G_1|,\ldots,|F_\nu -G_\nu |. \]
Auf Grund dieser Begriffsbildungen gelangt Verf. schließlich zu einem Analogon des Schottkyschen und des Landauschen Satzes bei algebroiden Funktionen:
Man betrachte dio Familie der Algebroiden (4), die in \(|z|< R\) definiert sein möge. \(0\) und \(1\) seien für jede Algebroide Ausnahmewerte der Ordnung \(\nu \). Der Abstand der zugehörigen Tafeln sei im Ursprung von Null verschieden. Es sei \[ f_1=a_0+a_1z+\cdots, \;\;f_2=b_0+b_1z+\cdots,\;\ldots,\ldots,\;\;f_\nu =l_0+l_1z+\cdots . \] Dann existiert ein \[ S(a_0,b_0,\ldots,l_0,\vartheta ) \] derart, daß in \(|z|\leqq \vartheta R\), \(0\leqq \vartheta <1\) gilt: \[ |u(z)|< S(a_0,b_0,\ldots,l_0,\vartheta ). \] Ist \(a_1\neq 0\), so existiert ein \[ L(a_0,b_0,\ldots,l_0,\vartheta ), \] so daß \[ R\leqq L(a_0,b_0,\ldots,l_0,\vartheta ). \]

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References:
[1] E. Borel, Sur les zéros des fonctions entièresActa mathematica, t. XX, 1896–97, pp. 357–396
[2] Cette expression est due àM. Hartogs; voirEd. Landau, Ueber den Picardschen Satz (Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich, 1906, p. 273).
[3] Voir P. Lévy Remarques sur le théorème de M. Picard,Bulletin de la S. M. de France, t. XL, 1912, pp. 25–39.
[4] Paul Montel, Sur les familles quasi-normales de fonctions analytiquesBulletin de la Société mathématique de France, t. LII, 1924, p. 85–114. · JFM 50.0246.01
[5] Loc. cit. page 135, en note. 18–2661.Acta mathematica. 49. Imprimé le 15 avril 1926.
[6] Paul Montel, Sur les familles normales de fonctions analytiquesAnnales Sc. de l’Ecole Normale Supérieure, 3e, s. t. 33, 1916, p. 232.
[7] Paul Montel, Sur les familles de fonctions analytiques qui admettent des valeurs exceptionnelles dans un domaineAnnales Sc. de l’Ecole Normale Supérieure, 3e s. t. 29, 1912, p. 506.
[8] Compléments aux théorèmes de. Picard-Borel.Comptes-Rendus des séances de l’Académie des Sciences de Paris, t. 179, p. 740, 1924.
[9] P. Montel, Sur les familles quasi-normales de fonctions analytiquesBulletin de la Société Mathématique de France, t. LII, 1924, p. 107.
[10] Loc. cit. à la note précédente, p. 109.
[11] Sur les couples de fonctions uniformes d’une variable correspondant aux points d’une courbe algébrique de genre supérieur à l’unité. (Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, t. XXXIII, 1912, pp. 1–5.) Sur les systèmes de deux fonctions uniformes d’une variable liées par une relation algébrique. (Bulletin de la Societé Mathématique de France, t. XL, 1912, pp. 201–205.Comptes-Rendus des Séances de l’Ac. des Sc. de Paris, 15 janvier 1912).
[12] P. Montel, Sur les familles normales de fonctions analytiquesAnn. sc. de l’Ecole Normale Supérieure, t. 33, s. 3, 1916, p. 295.
[13] Sopra le serie di funzioni analitiche (Rendiconti del R. Ist. Lombardo, s. 2, t. XXXVI, 1903, p. 772); (Annali di Mate pura ed Applicata, s. 3, t. X, 1904, p. 73).
[14] Eine Erweiterung des Satzes von Vitali über Folgen analytischer Funktionen (Berichte der Math. Phys. Klasse der Sächsischen Gesellschaft der Wiss. zu Leipzig, Bd. LXVII, pp. 194–200, 1915).
[15] Paul Montel, Sur les familles quasi-normales de fonctions analytiquesBulletin de la Société Mathématique de France, t. LII, 1924, p. 112. · JFM 50.0246.01
[16] G. Szegö, Bemerkungen zu einem Satz von J. H. Grace (Mathematische Zeitschrift, 1922, p. 29).
[17] Pour les combinaisons exceptionnelles du premier type, on doit supposer que ce sont des formes linéaires indépendantes, car toute combinaison du premier degré de plusieurs combinaisons exceptionnelles du premier type est encore une combinaison exceptionnelle du même type.
[18] La valeur infinie n’est pas comptée comme valeur exceptionnelle.
[19] Sur les zéros d’une classe de fonctions transcendantes (Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse 2e s. t. VIII, 1903). Récemment,M. Varopoulos a complété ce théorème en montrant que le nombre maximum de valeurs exceptionnelles estv+h, h désignant le nombre des relations linéaires distinctes à coefficients constants entre les fonctionsf i .Sur le nombre des valeurs exceptionnelles des fonctions multiformes (Comptes Rendus t. 177, p. 306, 1923;Bulletin de la Société Math. de France t. LIII, 1925, p. 23–34).
[20] Sur les familles de fonctions multiformes admettant des valeurs exceptionnelles dans un domaine (Acta Math., t. 37, 1914 p. 241–300); Sur les familles et les séries de fonctions multiformes dans un domaine (Annali di Matematica, s. 3, t. XXIII, p. 1–24). · JFM 45.0657.02
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