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Sur l’itération des fonctions transcendantes entières. (French) JFM 52.0309.01
Die vom Verf. (1919,1920; F. d. M. 47, 921 (JFM 47.0921.*)) und von Julia (1918; F. d. M. 46, 620 (JFM 46.0620.*)) entwickelte Theorie der Iteration der rationalen Funktionen wird auf ganze transzendente Funktionen ausgedehnt. Verf. zeigt, daß hierbei die meisten Resultate unverändert bzw. mit unwesentlichen Änderungen erhalten bleiben.
Bezeichnet man mit \(\mathfrak F\) die Menge aller Punkte, in denen die Folge der Iterierten \(g_n(z)\) (\(g_n(z)= g(g_{n-1}(z)\); \(g_0(z)= z\)) einer ganzen transzendenten Funktion \(g (z)\) nicht normal ist, so gilt wieder:
1. \(\mathfrak F\) ist perfekt.
2. Jeder Punkt von \(\mathfrak F\) ist Haufungspunkt von Fixpunkten der Iterierten.
Auch die Sätze über die Struktur von \(\mathfrak F\) bleiben erhalten. Insbesondere enthält \(\mathfrak F\) entweder die ganze Ebene oder überhaupt keinen inneren Punkt. Im letzteren Falle zerlegt also \(\mathfrak F\) die Ebene in Gebiete, in welchen die Folge \(g_n (z)\) normal ist, d. h. in Teilfolgen zerfällt, welche in diesen Gebieten gegen reguläre Funktionen konvergieren.
Die Beweise benutzen außer den aus den genannten früheren Arbeiten bekannten Überlegungen wesentlich einen Hilfssatz, der das Wachstum von \(g(h(z))\) nach unten abschätzt, wenn \(g (z)\), \(h(z)\) ganze transzendente Funktionen von bekanntem Wachstum bedeuten: Ist \(\displaystyle M(r) = \operatornamewithlimits{Max}_{|z|=r} |g(z)|\), \(\displaystyle M_1(r) = \operatornamewithlimits{Max}_{|z|=r} |g(h(z))|\), so gibt es zu jedem \(q>0\) beliebig große \(r\), für welche \(M_1(r) > M (r^q)\) gilt.
Im Gegensatz zu den rationalen Funktionen kann es unendlich viele anziehende Fixpunkte (d. h. Punkte \(\zeta \) mit \(g_n (\zeta )=\zeta \), \(|g_n'(\zeta )|< 1\)) geben. Die Frage, ob es immer abstoßende (\(|g_n'(\zeta )|> 1\)) Fixpunkte gibt und die mit ihr verbundene, ob \(\mathfrak F\), wie bei den rationalen Funktionen (Satz von Julia) als Ableitung der Menge aller abstoßenden Fixpunkte charakterisiert werden kann, werden als ungelöste Probleme formuliert. Weiterhin bleibt offen, ob die Folge der Iterierten \(g_n(z)\) nichtkonstante Grenzfunktionen besitzen kann. (Dies ist bisher nicht einmal für den Fall, daß \(g (z)\) ein Polynom zweiten Grades ist, entschieden.)
Die Beispiele \(g(z)= z + 1+ e^{-z}\) und \(g(z)=h\sin z+a\) (\(0<h<1\), \(a\) reell) werden ausführlich diskutiert.

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References:
[1] Voir notamment nos trois mémoiressur les équations fonctionnelles (B. S. M. F., 1919–1920).
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