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Über ganzwertige ganze Funktionen. (German) JFM 52.0318.01

Der von Pólya eingeführte Begriff der “ganzwertigen ganzen Funktion” (1915; F. d. M, 45, 655) wird erweitert, indem ein Körper \(K (\theta)\) zugrunde gelegt wird. Unter ganzen ganzzahligen Funktionen in \(K(\theta)\) versteht Verf. ganze Funktionen, die für alle dem Körper \(K (\theta)\) angehörigen ganzzahligen Werte von z dem Körper angehörige ganzzahlige Werte annehmen. Untersucht wird die Frage, wie stark das Anwachsen einer solchen Funktion sein muß, wenn sie nicht ein Polynom ist. Verf. beschränkt sich auf die beiden Fälle, daß \(\theta\) die kubische Einheitswurzel \(\varrho\) oder die biquadratische Einheitswurzel \(i\) ist und kommt zu folgendem Resultat:
“Versteht man unter \(M (r)\) das Maximum von \(|g(z)|\) in \(|z|\leqq r\), und ist für hinreichend großes \(r\) stets \[ M(r)\leqq \vartheta ^{r^{\sigma-\varepsilon}}, \] wo \(\sigma\) eine gewisse Konstante, \(\vartheta\) eine beliebige Konstante und \(\varepsilon\) eine beliebig kleine positive Zahl bedeutet, so ist \(g(z)\) ein Polynom.”
\(\sigma\) wird für die beiden Fälle möglichst gut abgeschätzt, und zwar bekommt Verf. im ersten Fall \(\sigma\geqq 1,597\ldots\), im zweiten Fall \(\sigma\geqq 1,470 \cdots\).

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