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Sur le theoréme de Picard. (French) JFM 52.0320.03
Auf Grund des Landauschen Satzes und mit Benutzung einer von Carleman herrührenden Ungleichung wird für meromorphe Funktionen, die einen asymptotischen Wert besitzen, die Existenz von cercles de remplissage nachgewiesen. Nach einleitenden Sätzen und Ungleichungen wird folgendes gezeigt:
Es gibt für die meromorphe Funktion \(\zeta = f (z)\) mit dem asymptotischen Wert Null unendlich viele Kreise \(C(r_1), \ldots, C(r_n), \ldots \) mit Mittelpunkten \(r_1,\ldots, r_n, \ldots \) (\(r_n\to \infty\) für \(n\to \infty\)), innerhalb derer \(f(z)\) sehr ausgedehnte Gebiete der \(\zeta\)-Ebene ausfüllt.
Präziser: \(\varphi(r)\) sei \(> 0, \varphi (r) =\varepsilon \biggl(\dfrac1r\biggr)\) und \(\varphi (r) > |f(z)|\), wenn \(z\) der Punkt des asymptotischen Weges mit \(|z| = r\) ist. Ferner seien \(R, R', \varrho\) mit \(r\) folgendermaßen verknüpft: \(\sqrt{RR'} = r, e^{-12\tfrac{R}{R'-R}}\geqq 1-\varrho \geqq \dfrac{\varkappa_1} {\sqrt{-\log \varphi (r)}}\), wobei \(\varkappa_1\) und \(\varkappa_2\) später Konstanten sind; dann gilt:
1. \(C(r)\) liegt zwischen \(R\) und \(R'\).
2. Sein Radius ist \(2(R'- R) \sqrt{1-\varrho} \;e^{\tfrac{5R}{R'-R}}\)
3. \(f(z)\) nimmt in \(C(r)\) nur solche Werte nicht an, die entweder in zwei kleinen Kreisen der \(\zeta\)-Ebene mit Radius \(\mu = e^{-\varkappa_2(1-\varrho)\log \tfrac{1}{\varphi (r)}}\) liegen, und welche vom Nullpunkte eine Entfernung \(< \dfrac1\mu\) besitzen, oder innerhalb eines dieser Kreise und außerhalb von \(|z| = \dfrac{1}{\mu}\). Aus diesem Satze kann der Juliasche Satz leicht gefolgert werden. Zum Schluß werden Sätze über die Anzahl der Wurzeln von \(f(z) - a = 0\) in einem \(C(r)\) angegeben.

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Full Text: Numdam EuDML