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Sur les systèmes de fonctions holomorphes à variétés linéaires lacunaires. (French) JFM 52.0326.01

Neben neuen Beweisen bekannter Ergebnisse bietet die Arbeit eine Reihe neuer Sätze. Unter ihnen seien die folgenden hervorgehoben:
1. Gegeben endlich viele Funktionen; sie seien in \(0 < |z| < R\) meromorph; \(z =0\) sei für alle wesentlich singulär; ihre Summe sei nicht identisch Null. In jedem Kreis um \(z = 0\) ist entweder eine der Funktionen 0 oder \(\infty\) oder nimmt die Summe aller den Wert Eins an.
2. In der projektiven Ebene sei ein Vierseit gegeben. Seine Seiten mögen die Gleichungen \(\sum a_i^{(k)}x_i= 0\) haben. Es sei \(\sum a_1^{(k)}=0\). Ferner seien drei in \(|z|< 1\) meromorphe Funktionen \(x_i(z)\) gegeben. Für \(|z| <1\) möge der Punkt \((x_1(z), x_2(z), x_3(z))\) nie auf einer der vier Geraden liegen. Wenn dann der Punkt \(M_0 (x_1(0), x_2 (0), x_3 (0))\) auf keiner der Vierseitsdiagonalen liegt, so gibt es zwei nur von \(M_0\) und \(\varrho\) abhängige Zahlen \(a, A\) derart, daß in \(|z| < \varrho\) für alle \(j, k\) \[ a<\Biggl|\dfrac {\sum a_i^{(k)}x_i(z)}{\sum a_i^{(j)}x_i(z)}\Biggr|<A \] gilt. Auch für den Fall, daß \(M_0\) auf einer oder auf zwei Vierseitsdiagonalen liegt, werden Angaben gemacht.
Affine Spezialisierung führt zu Sätzen über Funktionenpaare.
3. Die Funktionen \[ f_i(z_1, \ldots, z_n)\quad (i = 1, 2, \ldots,n) \] seien in \[ \sum \dfrac{z_i\overline{z}_i}{a_i\overline{a}_i}<1\tag{1} \] regulär, von Null verschieden; ihre Summe sei nie gleich Eins. Es sei \(f_i(0, \ldots, 0) = a_{i0}\). Dann gibt es eine Zahl \(M\), die nur von \(a_{10}, a_{20}, \ldots, a_{n0}\) und von \(|a_1a_2\ldots a_n|\) abhängt, derart, daß \[ \biggl|\dfrac{\partial (f_1, \ldots, f_n)}{\partial (z_1, \ldots, z_n)}\biggr |<M \] für \(z_1 = z_2 = z_3\cdots = z_n = 0. \)
4. Alsdann wird der in 2. erwähnte Satz auf Funktionen mehrerer Variablen ausgedehnt.
5. Der in 2. erwähnte Satz läßt sich auf \(n\) Funktionen einer Variablen verallgemeinern. Als affiner Spezialfall ergibt sich dann z. B. der folgende Satz: Es seien \[ f_i(z) = a_{i0} + a_{i1}z+\cdots \quad (i = 1, 2, \ldots, n) \] \(n\) in \(|z| < 1\) reguläre Funktionen; sie seien daselbst \(\neq 0\); ihre Summe werde nirgends gleich Eins; es seien alle \(a_{i0} \neq 1\); die Summe beliebig vieler der \(a_{i0}\) sei \(\neq 0\) und \(\neq 1\). Dann gibt es eine nur von \(a_{10},\ldots, a_{n0}\) und von \(k\) abhängige Schranke \(S\), so daß \[ |a_{ik}| < S \quad (i = 1, 2, \ldots, n). \]
6. Auch die in 5. gewonnenen Sätze lassen sich auf Funktionensysteme mehrerer Variablen ausdehnen.
7. Wegen eines temperamentvollen Schlußparagraphen mehr programmatischen. Inhaltes mag am die Abhandlung selbst verwiesen werden.

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Full Text: DOI Numdam EuDML