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The zeros of certain integral functions. (English) JFM 52.0334.03
Verf. betrachtet die Funktionen \[ \displaylines{\rlap{\qquad(1)} \hfill F(z)=\textstyle \int\limits_{a}^{b} \displaystyle e^{tz}\,f\,(t)\,dt,\hfill} \] wo \(a\) und \(b\) reell sind mit \(b>a\), während \(f\,(t)\) eine beliebige integrierbare reell- oder komplexwertige Funktion ist; ferner soll für jedes \(\alpha>a\), \(\beta<b\) \[ \textstyle \int\limits_{a}^{\alpha} \displaystyle |\,f(t)\,|\,dt>0,\quad\textstyle \int\limits_{\beta}^{b} \displaystyle |\,f(t)\,|\,dt>0 \] sein. Elementare Integralabschätzungen ergeben dann ziemlich scharfe Aussagen über das Wachstum von \(|\,F(z)\,|\) auf jedem Strahl vom Nullpunkt aus, aus denen man folgende Resultate über die Nullsteilenverteilung gewinnt: Ist \(n(r)\) die Anzahl der Nullstellen \(z_n=r_n e^{i\theta_n}\) mit \(r_n\leqq r\), so ist \[ n(r)\sim \frac{b-a}{\pi }\,r; \] die \(z_n\) liegen relativ häufig in der Nähe der imaginären Achse. Es ist nämlich \[ \textstyle\sum\dfrac{|\,\cos\theta_n\,|}{r_n} \] konvergent. Doch gibt es Funktionen der betrachteten Klasse mit unendlich vielen reellen Nullstellen; aber stets ist \[ \textstyle\sum\dfrac{\sin\theta_n}{r_n} \] (bedingt) konvergent. Schließlich findet man auch die bedingt konvergente Produktdarstellung \[ F(z)=F(0)\,e^{\frac{1}{2}(a+b)z}\textstyle\prod\limits_{n=1}^\infty \biggl(1-\dfrac{z}{z_n}\biggr). \]
Eine hübsche Anwendung des Hauptresultates ist der Beweis des Satzes: \(\varphi(t)\) und \(\psi(t)\) seien integrierbar in \(0<t<\varkappa\), und es sei für fast jedes \(x\) aus diesem Intervall \[ h(x)=\textstyle \int\limits_{0}^{x} \displaystyle \varphi(t)\,\psi(x-t)\,dt=0. \] Dann ist fast überall in \(0<t<\lambda\) \(\varphi(t)=0\) und fast überall in \(0<t<\mu\) \(\psi(t)=0\), wo \(\lambda+\mu\geqq \varkappa \). Der Beweis beruht darauf, daß man in (1) an Stelle von \(f\) gewisse Funktionen setzt, die in einem Teil des Integrationsintervalles mit \(\varphi\), \(\psi\) bzw. \(h\) übereinstimmen; von den drei entstehenden \(F(z)\) ist die dritte das Produkt der beiden ersten; indem man den Satz über \(n(r)\) anwendet, folgt die Behauptung.

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