Über das Schwarzsche Lemma bei analytischen Funktionen von zwei komplexen Veränderlichen. (German) JFM 52.0345.02

Carathéodory, C.

Math. Ann. 97, 76-98 (1926).

Eines der wichtigsten Probleme in der Theorie der analytischen Funktionen zweier Veränderlichen ist die Frage nach der Abbildung zweier vierdimensionaler Gebiete aufeinander mittelst Paare solcher Funktionen. Wenn man auch seit längerer Zeit weiß, daß es hier kein Analogon zum Riemannschen Abbildungssatz gibt, so hatte man bisher doch noch kein Kriterium für die Möglichkeit solcher Abbildungen gefunden. Verf. hat nun mittels eines ganz neuen Ansatzes notwendige Bedingungen für eine solche “analytische” Abbildung zweier Bereiche aufeinander angegeben. Er benutzt dazu als Hilfsmittel die Theorie der normalen Familien analytischer Funktionen von Montel und Julia.
Durch die normale Familie analytischer Funktionen von zwei komplexen Veränderlichen, die in einem vorgegebenen vierdimensionalen Gebiete regulär und dem absoluten Betrage nach kleiner als Eins sind, wird diesem Gebiete \(G\) eine Metrik mit Hilfe einer Distanzfunktion auferlegt. Diese Distanzfunktion \(D_G (A, B)\) ist invariant gegenüber analytischen Abbildungen, so daß wir durch diese Funktion eine notwendige Bedingung für die Möglichkeit einer Abbildung bekommen.
Von der Distanzfunktion werden dann einige elementare Eigenschaften gezeigt, so der Dreieckssatz und die wichtige, die Überschrift der Arbeit rechtfertigende Eigenschaft: Wenn \(G\succ H\), so \(D_G(A, B)\leqq D_H(A, B)\).
Dann werden die Distanzfunktionen für zwei spezielle Gebiete, Dizylinder und Hyperkugel, explicite ausgerechnet.
Zum Schluß wird gezeigt, daß alle in diesem Sinne metrischen Abbildungen des Dizylinders und der Hyperkugel auf sich im wesentlichen mit den analytischen Abbildungen zusammenfallen.

Reviewer: Behnke, H. (Münster i. W.)

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 4. Allgemeine Theorie der Funktionen komplexer Argumente.

References:

[1]	H. Poincar?, Les fonctions analytiques de deux variables et la repr?sentation conforme, Rend. Circ. Matem. Palermo23 (1907), pp. 185-220. · JFM 38.0459.02 · doi:10.1007/BF03013518
[2]	?ber Abbildungen durch analytische Funktionen zwejer Ver?nderlicher, Math. Ann.83 (1921), S. 211-255. · JFM 48.0408.04
[3]	Man wei? aus der Theorie der Funktionen einer Ver?nderlichen, da? diese Bedingung wirklich eine Beschr?nkung f?r die GebieteG bedeutet. So stellt z. B. die komplexe Zahlebene selbst, oder die ?berlagerungsfl?che der Riemannschen Fl?chen, die bei den elliptischen Integralen auftreten, Gebiete dar, die die verlangte Eigenschaft nicht besitzen. Die Riemannsche Fl?che der elliptischen Modulfunktion ist dagegen das einfachste Beispiel eines Gebietes ohne Rand, das die betreffende Eigenschaft besitzt.
[4]	In einer wichtigen Arbeit hat Herr G. Julia die normalen Familien von analytischen Funktionen von mehreren Ver?nderlichen systematisch untersucht. [Sur les familles des fonctions analytiques de plusieurs variables, Acta Mathematica47 (1926). pp. 53-115.] Diese Arbeit hat mir, obgleich sie ganz andere Ziele verfolgt, die erste Anregung zu der vorliegenden Untersuchung gegeben. · JFM 51.0270.02 · doi:10.1007/BF02544108
[5]	G. Pick, ?ber eine Eigenschaft der konformen Abbildung kreisf?rmiger Bereiche, Math. Ann.77 (1916), S. 1-6. · JFM 45.0671.02 · doi:10.1007/BF01456816
[6]	Die Metrik, zu der wir gelangen werden, f?llt im wesentlichen mit der Ma?bestimmung zusammen, die die Herren G. Fubini und E. Study direkt aus der Hermiteschen Form (17) entnommen haben (G. Fubini, Sulle metriche definite da una forma Hermitiana, Istituto Veneto63, 2 (1904); E. Study, K?rzeste Wege im komplexen Gebiet, Math. Annalen60 (1905), S. 321-378, siehe besonders S. 325).
[7]	Poincar? a. a. O., S. 207. Die Gruppe h?ngt von acht reellen Parametern ab: in den Gleichungen (18) kommen n?mlich acht komplexe Zahlen, also 16 reelle Parameter vor, und es bestehen zwischen diesen Parametern acht Bedingungsgleichungen, wenn man die drei letzten Gleichungen (18) in ihren reellen und ihren imagin?ren Bestandteil spaltet.
[8]	Es ist vielleicht nicht ?berfl?ssig zu bemerken, da? zwischen den Koeffizienten der analytischen Drehungen genau die Relationen bestehen, die besagen, da? die beiden komplexen Vektoren (a, a?) und (b, b?) in der Weise normiert sind, wie Herr Erhard Schmidt es f?r einen ganz anderen Zweck vorgeschlagen hat. (?ber die Aufl?sung linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten. Rend. Circ. Matem. Palermo25 (1908), pp. 53-77.)