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Fonctions hypergéométriques et hypersphériques. Polynomes d’Hermite. (French) JFM 52.0361.13
VII + 434 p. Paris, Gauthier-Villars (1926).
An dieser reichaltigen Darstellung ist vor allem die Klarlegung der formelmäßigen Beziehungen zwischen den verschiedenen behandelten Typen spezieller Funktionen, sowie der Zusammenhänge mit der Theorie der harmonischen Funktionen in mehrdimensionalen Räumen hervorzuheben; demgegenüber treten spezifisch funktionentheoretische Betrachtungen, Konvergenzfragen, asymptotisches Verhalten zurück. (Für Entwicklungssätze sei hier auf die seither erschienenen Arbeiten von Koschmieder hingewiesen: Math. Ann. 101 (1929), 120-125; Monatshefte f. Math. 39 (1932), 321-344; F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 221; 58.)
Übersicht: Teil I. Die hypergeometrischen Funktionen (h. F.) von mehreren Veränderlichen.
1) Die vier h. F. zweier Veränderlichen: Kurzer Überblick über die Gaußschen h. F. (Reihen, Integrale). Definition der vier Appellschen h. Reihen \(F_j\) (\(j = 1, \dots, 4\)) mit zwei Veränderlichen \(x\), \(y\) und vier bzw. fünf Parametern (die Form der Reihen wird durch die des Produkts zweier Gaußscher in \(x\) und \(y\) nahegelegt). Bestimmung der Konvergenzgebiete; Beziehungen zwischen benachbarten (contiguen) Funktionen; Fälle der Reduktion auf Gaußsche Reihen.
2) Darstellung durch bestimmte Integrale: Bei geeigneten Einschränkungen für die Parameter lassen sich \(F_1\), \(F_2\), \(F_3\) durch Doppelintegrale über ein Quadrat bzw. Dreieck der reellen \(u\), \(v\)-Ebene darstellen, \(F_1\) auch durch ein einfaches Integral; die Integranden sind multiplikative Funktionen, deren (endliche) Verzweigungsgebilde unter den folgenden enthalten sind: \[ u = 0, \quad v = 0, \quad u =1, \quad v =1, \quad u+v = 1, \quad ux =1, \quad vy = 1, \quad ux + vy = 1. \] Zur Beseitigung der Einschränkungen werden nicht, wie bei einer Veränderlichen gebräuchlich, komplexe Schleifenintegrale, sondern Barnessche Gamma-Integrale herangezogen. Gewinnung von Rekursionsformeln aus den Integraldarstellungen.
3) Die Systeme partieller Differentialgleichungen für die vier h. F: Für jedes \(F_j\) gilt ein System von zwei linearen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit rationalen Koeffizienten, das sich auf ein vollständig integrierbares Pfaffsches System mit vier (bzw. für \(j = 1\) drei) unbekannten Funktionen zurückführen läßt; demgemäß Fundamentalsysteme aus vier (drei) linear unabhängigen Funktionen; für das System, dem \(F_1\) genügt, 60 den Kummerschen analoge Integrale. Adjungierte Differentialgleichungen; gewöhnliche Differentialgleichungen (dritter oder vierter Ordnung) in Abhängigkeit von einer Veränderlichen.
4) Ausdehnung des Riemannschen Problems auf die Funktionen zweier Veränderlicher: Bestimmung der Differentialgleichungen aus den singulären Gebilden \(x = 0, 1, \infty\); \(y = 0, 1, \infty\); \(x = y\) und den dortigen Umlaufsexponenten.
5) Über die zwei Arten der Reduktion der h. F. zweier Veränderlicher: 1. Art: Die durch \(y = f(x)\) hervorgehenden Funktionen einer Veränderlichen genügen gewissen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen, deren Ordnung sich bei spezieller Wahl von \(f(x)\) erniedrigt. – 2. Art: Bei spezieller Wahl der Parameter kann es Lösungen geben, die Differentialsystemen mit rationalen Koeffizienten und weniger linear unabhängigen Lösungen genügen.
6) Die h. Polynome mit zwei Veränderlichen, welche die Jacobischen Polynome verallgemeinern: Sie entspringen aus der Reihe \(F_2\) für gewisse Parameter, wo sie abbricht. Orthogonalitätseigenschaften in bezug auf das Dreieck \(x \geqq 0\), \(y \geqq 0\), \(1-x-y \geqq 0\). “Fourierkoeffizienten” einer dort gegebenen Funktion.
7) Die hypergeometrischen Funktionen von \(n\) Veränderlichen von Lauricella: Übertragungen des Früheren. Beim Ausnahmetyp \((n +1) (n + 2) (n + 3)\) den Kummerschen entsprechende Integrale.
8) Die Ausartungen der vier h. F. zweier Veränderlichen: Grenzübergänge in den Koeffizienten, insbesondere Fälle, die den Whittakerschen “confluent h. f.” analog sind.
9) Die h. F. höherer Ordnung von zwei Veränderlichen. Für eine Veränderliche: 1. Möglichkeit: Übergang zu Differentialgleichungen \(k\)-ter Ordnung mit \(k\) singulären Punkten, denen analog gebaute bestimmte Integrale mit mehr Verzweigungspunkten im Integranden genügen (hiefür jetzt Schlesinger, M. Z. 28 (1928), 504-518; F. d. M. 54, 393 (JFM 54.0393.*)); 2. Möglichkeit: Bildung analog gebauter Reihen mit mehr Parametern, die Differentialgleichungen \(k\)-ter Ordnung mit nach wie vor drei singulären Punkten erfüllen (hiefür jetzt Winkler, Diss. München 1931; F. d. M. 57). Verfolgung des 2. Weges führt bei zwei Veränderlichen auf die allgemeinste Hornsche Definition durch \(\dfrac{a_{m+1, n}}{a_{m, n}} = \dfrac{P(m, n)}{Q(m, n)}\) (entsprechend mit Vertauschung von \(m\) und \(n\); \(P\), \(Q\) Polynome). Sind \(P\), \(Q\) in Linearfaktoren zerlegbar, so entsteht die hier ausführlich behandelte spezielle Klasse. Aufstellung von Systemen partieller Differentialgleichungen.
Teil II. Die hypersphärischen Funktionen und die Hermiteschen Polynome.
1) Die Laplacesche Gleichung und die harmonischen Funktionen: Allgemeine Vorbetrachtungen über die Gleichung \(\varDelta F = 0\) im \(q\)-dimensionalen Raum, ihre Transformation und die Gewinnung partikulärer Integrale. Greensche Formeln; erste Randwertaufgabe für die Hyperkugel mittels des verallgemeinerten Poissonschen Integrals.
2) Die hypersphärischen Funktionen \(Y_\mu\): Definition einer hypersphärischen Funktion \(\mu\)-ten Grades als Wert eines homogenen harmonischen Polynoms \(\mu\)-ten Grades auf der Einheitskugel \(\sum\limits_{\nu=1}^{n+2} x_\nu^2 = 1\) \((q = n + 2)\), also analog den Kugelflächenfunktionen. Lösung der ersten Randwertaufgabe durch Reihenentwicklung, wenn die Entwicklung der gegebenen Funktion auf dem Rand vorausgesetzt ist. Orthogonalitätseigenschaften in bezug auf die Kugel. Zonale Koordinaten \((r, x_1, \dots, x_n, \varphi)\), die mit den rechtwinkligen (\(z_\nu\)) durch \[ z_\nu = rx_\nu \, \, (\nu = 1, 2, \dots, n), \quad z_{n+1} = r\sqrt{X_n} \, \cos \varphi, \quad z_{n+2} = r\sqrt{X_n} \sin \varphi \] zusammenhängen \(\left(X_n = 1 - \sum\limits_{\nu=1}^n x_\nu^2\right)\), erweisen sich als den Polarkoordinaten überlegen. Darstellung der hypersphärischen Funktionen in zonalen Koordinaten; insbesondere zonale Kugelfunktionen, die von \(\varphi\) unabhängig sind. Integralgleichungen.
3) Die Polynome \(V_{m_1 \dots m_n}(x_1, \dots, x_n)\) und \(V_{m_1 \dots m_n}^{(s)} (x_1, \dots, x_n)\): Die ersteren entspringen nach Hermite durch Verallgemeinerung der erzeugenden Funktion der Legendreschen Polynome aus der Entwicklung \[ \left(1 - 2\sum_{\nu=1}^n a_\nu x_\nu + \sum_{\nu=1}^n a_\nu^2\right)^{-\tfrac n2} = \sum a_1^{m_1} \dots a_n^{m_n} \, V_{m_1 \dots m_n}(x_1, \dots, x_n), \] und die für festes \(\mu = m_1 + \cdots + m_n\) hervorgehenden Polynome bilden (Appell 1913 F. d. M. 44, 535 (JFM 44.0535.*)) gerade eine Basis für die in 2) behandelten zonalen Kugelfunktionen vom Grade \(\mu\). Die zweite Art entsteht durch Nullsetzen der \(s - 1\) letzten Indices in \(V_{m_1 \dots m_{n+s-1}}(x_1, \dots, x_{n+s-1})\): \[ V_{m_1 \dots m_n, 0, \dots, 0}(x_1, \dots, x_{n+s-1}) = V_{m_1 \dots m_n}^{(s)} (x_1, \dots, x_n). \] Partielle Differentialgleichungen; Ausdruck durch hypergeometrische Funktionen; Orthogonalität.
4) Die Polynome \(U_{m_1 \dots m_n}^{(s)}(x_1, \dots, x_n)\): Zur Entwicklung einer auf der Hyperkugel im \((01n + s+ l)\)-dimensionalen Raum gegebenen Funktionen der \(n\) Veränderlichen \(x_1, x_2, \dots, x_n\) werden den \(V_{m_1 \dots m_n}^{(s)}\) andere Polynome \(U\) gegenübergestellt, die in folgendem Sinn zu ihnen orthogonal sind: \[ \int\limits_{x_n \geqq 0} X_n^{\tfrac{s-1}{2}} V_{m_1 \dots m_n}^{(s)} U_{m_1^\prime \dots m_n^\prime}^{(s)} \, dx_1 \dots dx_n = 0 \quad \text{ für } \quad \sum_{\nu=1}^n (m_\nu - m_\nu^\prime)^2 > 0. \] Die analoge Eigenschaft besteht bei Ersetzung der \(U\) durch die \(V\) nur für \[ \sum_{\nu=1}^n (m_\nu - m_\nu^\prime) \neq 0. \] Die \(U_{m_1 \dots m_n}\) bilden ebensowohl wie die \(V_{m_1 \dots m_n}\) eine Basis für die zonalen Funktionen vom Grade \(\mu\). Zu \(V\) und \(R = X^{\tfrac{s-1}{2}} U\) gehören paarweise adjungierte Differentialgleichungen.
5) Entwicklung einer willkürlichen Funktion in eine Reihe von Polynomen: Durchführung der Koeffizientenbestimmung; Beispiele; Konvergenzbeweis für den Spezialfall beliebig oftmaliger Differenzierbarkeit und gleichmäßig beschränkter Ableitungen der gegebenen Funktion.
6) Die hypersphärischen Funktionen beliebiger Ordnung: Darstellung aller (auch der von \(\varphi\) abhängigen) hypersphärischen Funktionen vom Grade \(\mu\) als Linearkombinationen der \[ X_n^{\tfrac k2} \, e^{\pm ki\varphi} \cdot \left\{\begin{matrix} \l \\ U_{m_1 \dots m_n}^{(s)}(x_1, \cdots, x_n) \\ V_{m_1 \dots m_n}^{(s)}(x_1, \cdots, x_n) \end{matrix} \right. \] (\(s = 2k+ 1\); \(m_1+ \cdots + m_n = \mu\); \(k(= 0, 1, \dots, \mu)\) heißt die Ordnung); in ähnlicher Form auch mittels Ableitungen der \(V\). Orthogonalität; Entwicklung einer auf der Hyperkugel des \(n + 2\) dimensionalen Raums gegebenen Funktion \(\varPhi(x_1, x_2, \dots, x_n, \varphi)\); Anwendung auf die erste Randwertaufgabe.
7) Spezielle Betrachtung der Polynome in zwei Veränderlichen \(U_{mn}(x, y)\) und \(V_{mn}(x, y)\). In diesem Fall Bestimmung der allgemeinen Lösung der partiellen Differentialsysteme. Verlauf der algebraischen Kurven \(U = 0\) (Analogon zu der bekannten Nullstellenverteilung der Legendreschen Polynome).
Teil III. Die aus einer Exponentialfunktion entspringenden Hermiteschen Polynome.
1) Die aus der Exponentialfunktion \(e^{-x^2/2}\) hervorgehenden Hermiteschen Polynome: Einführung durch Grenzübergang; Herleitung der Eigenschaften aus der erzeugenden Funktion; Zusammenhang mit den parabolischen Zylinderfunktionen. Additionsformel. Orthogonalität. Entwicklung reeller Funktionen (für Konvergenzbetrachtungen s. z. B. Rotach, Diss. T. H. Zürich 1925; F. d. M. 51, 228 (JFM 51.0228.*)). Zusammenhang mit Integralgleichungen. Funktionen zweiter Art.
2) Die Hermiteschen Polynome in mehreren Veränderlichen, die aus einer Exponentialfunktion entspringen. Definition vermöge Ersetzung von \(x^2\) durch eine positiv definite quadratische Form \(\varphi(x_1, \dots, x_n)\): \[ e^{-\tfrac 12 \varphi(x_1 - h_1, \dots, x_n - h_n)} = e^{-\tfrac 12 \varphi(x)} \sum \frac{h_1^{m_1} \dots h_n^{m_n}}{m_1! \dots m_n!} \, H_{m_1 \dots m_n}(x_1, \dots, x_n). \] Adjungierte Polynome, die der adjungierten quadratischen Form entsprechen; gegenseitige Orthogonalität. Für \(n = 2\): Darstellung durch höhere Ableitungen; partielle Differentialgleichungen; Kurven \(H = 0\).
Sechs Noten enthalten noch mehr oder weniger ausgeführte Angaben über Kugelfunktionen nicht ganzzahliger Ordnung (Gegenbauer), die Hornschen Untersuchungen zur Konvergenz der allgemeinsten hypergeometrischen Reihen, die Birkelandschen Anwendungen auf die Darstellung algebraischer Funktionen sowie einige weitere Anwendungen und Verallgemeinerungen. (IV 6 A.)
Besprechung: M. P., Giornale di Mat. 64, 224.