×

zbMATH — the first resource for mathematics

Sur les systèmes de fonctions uniformes satisfaisant à l’équation d’une variété algébrique dont l’irrégularite dépasse la dimension. (French) JFM 52.0373.04
Die Arbeit untersucht die Systeme meromorpher Funktionen, die eine algebraische Gleichung erfüllen; sie bedient sich dabei einmal der geometrischen Deutung der Gleichung und ihrer Eigenschaften, sodann der funktionentheoretischen Sätze über die logarithmischen Mittelwerte und deren asymptotischen Charakter. Liegt ein Punkt \(P\) auf einer algebraischen Fläche mit \(p_g - p_a > 2\), und sind seine drei Koordinaten meromorphe Funktionen \(f_i\) einer Variablen \(t\), so beschreibt er eine rationale oder elliptische Kurve, und die Fläche enthält entweder ein Büschel oder nur endlichviele solcher Kurven; ersetzt man die Fläche durch eine höhere Mannigfaltigkeit, so liegt die beschriebene Kurve in einer algebraischen Untermannigfaltigkeit, deren Irregularität die Dimension nicht überschreitet. Betrachtet man Funktionen \(f_i\), die nur im Einheitskreise meromorph sind, so ergeben sich entsprechende Aussagen, z. B: Liegt \(P\) auf einer Fläche der Irregularität \(> 2\), die nur solche elliptische Kurven enthält, längs derer alle Integrale erster Gattung konstant sind, dann besitzt die Schwankung eines solchen Integrals zwischen zwei Werten \(t_1\), \(t_2\) des Einheitskreises eine obere Schranke, die nur von der nichteuklidischen Entfernung dieser Werte, der Fläche und dem Integral abhängt. Analog für höhere Mannigfaltigkeiten. Eine ähnliche Aussage gewinnt man, wenn man drei Funktionen \(f_i\) zweier Variablen, die im Innern der Einheitshyperkugel meromorph sind, benutzt; liegt der dargestellte Punkt \(P\) auf einer Fläche \(F\) der Irregularität \(q > 2\), die kein irrationales Büschel vom Geschlecht \(q\) oder \(q - 1\) besitzt, so hat die Funktionaldeterminante je zweier am Nullpunkt holomorpher \(f_i\) daselbst eine obere Schranke, die lediglich vom Bildpunkt des Nullpunktes auf F abhängt.
Die Arbeit untersucht nun den Fall, daß einer algebraischen Gleichung durch ein System eindeutiger Funktionen genügt wird, die mehrere Ausnahmemannigfaltigkeiten von um Eins niedrigerer Dimension besitzen; bei diesen Betrachtungen treten an die Stelle der Integrale erster Gattung diejenigen dritter Gattung. Die Schwankung der Integrale 1. Gattung bzw. die Funktionaldeterminanten lassen sich wieder durch obere Schranken abschätzen, die natürlich noch von den Ausnahmemannigfaltigkeiten abhängen. Die Anwendung der Resultate auf die Punktgruppen einer Kurve führt zu einer Folge interessanter Sätze, z. B: Ist auf einer Kurve vom Geschlecht \(p\) eine Gruppe \(G_n\) von \(n\) Punkten meromorphe Funktion von \(t\) (in der ganzen \(t\)-Ebene), dann beschreibt \(G_n\) entweder eine lineare Vollschar oder eine Abelsche Schar, d. h. eine algebraische Gesamtheit linearer Vollscharen, die birational äquivalent einer Abelschen Mannigfaltigkeit vom Rang 1 ist.
Die Beweise sind leider nicht vollständig. (V 5 C,E.)

PDF BibTeX XML Cite