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Neue Begründung der komplexen Multiplikation. I: Einordnung in die allgemeine Klassenkörpertheorie. (German) JFM 52.0377.01
Das Ziel dieser Arbeit ist die funktionentheoretische Konstruktion der relativ abelschen Oberkörper über einem gegebenen imaginär-quadratischen Grundkörper \(\Omega\), unter möglichst sparsamer Verwendung der Theorie der elliptischen und der Modulfunktionen und unter voller Ausnutzung der allgemeinen Klassenkörpertheorie. Für den Kenner der Klassenkörpertheorie und der einfachsten Eigenschaften der genannten Funktionenklassen wird dieses Ziel unter erheblichen Vereinfachungen gegenüber den Darstellungen von Weber, Takagi und Fueter in der vorliegenden Darstellung auf ganz kurzem Raum erreicht. Die Theorie zerfällt in zwei Bestandteile, die der Verf. Theorie I und Theorie II nennt.
In Theorie I, die für Theorie II unentbehrlich ist, wird die Konstruktion des absoluten Klassenkörpers über \(\Omega\) bewerkstelligt. Zum Beweise für den damit ausgesprochenen Satz wird zunächst gezeigt, daß die absoluten Klasseninvarianten \(j(\mathfrak k)\) ganze algebraische Zahlen sind; hierauf wird unter Benutzung der Eigenschaften der Diskriminante \(\Delta(\omega_1,\omega_2)\) und mit Hilfe des sogenannten \(q\)-Entwicklungsprinzips die fundamentale Kongruenz bewiesen, die zwischen den absoluten Klasseninvarianten besteht, und aus der dann sofort das Zerlegungsgesetz für die Primideale ersten Grades von \(\Omega\) beim Übergang in einen Körper \(\Omega(j(\mathfrak k))\) folgt. Nach der Klassenkörpertheorie ist diese Tatsache bereits hinreichend dafür, daß jeder dieser Körper \(\Omega(j(\mathfrak k))\) der absolute Klassenkörper über \(\Omega\) ist.
In Theorie II handelt es sich um den Beweis des folgenden Satzes: Ist \(\mathfrak m\) ein ganzes Ideal \(\neq 1\) aus \(\Omega\), so erhält man in jedem der Körper \(K = \Omega(j(\mathfrak k),\tau(\mathfrak k^*))\) den Strahlklassenkörper mod \(\mathfrak m\) über \(\Omega\), wenn für \(\mathfrak k\) eine beliebige absolute Idealklasse, für \(\mathfrak k^*\) eine beliebige der Strahlklassen mod \(\mathfrak m\), die in einer gewissen \(\mathfrak k\) eindeutig zugeordneten absoluten Idealklasse liegen, eingesetzt wird, wobei unter \(\tau(u;\omega_1,\omega_2)\) die Webersche \(\tau\)-Funktion verstanden sein soll. Zunächst ergibt sich, daß jene Strahlklasseninvarianten bei festem \(\mathfrak k\) voneinander verschiedene algebraische Zahlen sind, in deren reduziertem Nenner höchstens Primteiler der Norm von \(\mathfrak m\) aufgehen. Der Beweis der fundamentalen Kongruenz zwischen den Strahlklasseninvarianten wird ausschließlich mit Hilfe der Funktion \(\tau(u;\omega_1,\omega_2)\) und des \(q\)-Entwicklungsprinzips geführt, und nun folgt das Zerlegungsgesetz für die Primideale ersten Grades von \(\Omega\) beim Übergang in \(K\) und damit der zu beweisende Satz aus der oben erwähnten Kongruenz, die zwischen den absoluten Klasseninvarianten besteht und der zuletzt bewiesenen Kongruenz zwischen den Strahlklasseninvarianten. (II 8.)

MSC:
11R37 Class field theory
11G15 Complex multiplication and moduli of abelian varieties
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Full Text: DOI Crelle EuDML