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Sulle varietà abeliane reali e sulle matrici di Riemann reali. I. (Italian) JFM 52.0380.01
Eine algebraische Mannigfaltigkeit heißt reell, wenn sie durch eine involutorische antibirationale Transformation (birationale Transformation und Übergang zum konjugiert Komplexen) in sich übergeführt wird. Bei einer \(p\)-dimensionalen Abelschen (d. h. durch \(2p\)-fach periodische Funktionen darstellbaren) Mannigfaltigkeit bedeutet dies, daß die Riemannsche Matrix \(\varOmega=(\omega_{rs})\) (\(r=1,\ldots,p\); \(s = 1,\ldots, 2p\)) ihrer Perioden eine involutorische Riemannsche Antisubstitution in sich zuläßt, d. h. daß \(\varOmega= A\overline{\varOmega}B\) gilt mit einer beliebigen nicht ausgearteten Matrix \(A\) und einer ganzzahligen Matrix \(B\) der Determinante \(\pm 1\). Eine solche Riemannsche Matrix heißt reell. Eine Abelsche Mannigfaltigkeit mit “reeller” Matrix ist reell. Die reellen Riemannschen Matrizen und ihre Substitutionen werden in der von G. Scorza (1916; F. d. M. 46, 607 (JFM 46.0607.*)) gewiesenen Richtung eingehend untersucht. Schließlich wird der Begriff des Realitätssystems herangezogen. Zwei involutorische Antisubstitutionen gehören zum selben Realitätssystem, wenn sie in der Gruppe aller Substitutionen und Antisubstitutionen des Gebildes in sich konjugiert sind. Jedem Realitätssystem entspricht umkehrbar-eindeutig eine Klasse durch reelle birationale Transformationen ineinander überführbarer reeller Repräsentanten der Mannigfaltigkeit.

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