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Eine allgemeine Methode zur Auflösung von linearen Integralgleichungen. (German) JFM 52.0385.03

Es handelt sich um einen methodisch neuen, auch praktisch brauchbaren Weg zur Auflösung von Integralgleichungen. Man betrachtet die Integralgleichung \[ f(s)=k(s)\varphi(s)-\int\limits_{a}^{b}K(s,t)\varphi(t)dt\equiv I(\varphi) \tag{*} \] (\(K\), \(f\), \(k\) stetig und reell, ferner \(k(s)\geqq \delta>0\)) und daneben (mit stetigem \(g(s)\)) die transponierte Gleichung \[ g(s) = k(s) \varphi(s) - \int\limits_a^b K(t,s)\varphi(t)dt\equiv T(\varphi). \] Man gehe von einem vollständigen System linear unabhängiger Funktionen \(h_1(s), h_2(s),\ldots\) aus und bilde durch Orthogonalisieren die linearen Kombinationen \(u_1(s), u_2(s),\ldots\), die die Beziehungen \[ \int T(u_i)T(u_k)ds=\delta_{ik}(=0 \;\text{oder} \;1) \] erfüllen. Hieraus gewinnt man durch \[ v_i(s)=T(u_i) \] ein weiteres Orthogonalsystem.
Nun lassen sich die Fourierkoeffizienten von \(\varphi(s)\) hinsichtlich der \(v_i(s)\) so berechnen: \[ a_i =\int\varphi(s) v_i(s)ds = \int u_i(s)f(s)ds. \] Wenn die Reihe \(\sum a_iv_i(s)\) gleichmäßig konvergiert, so ist sie die Lösung. Hieraus läßt sich aber auch eine immer gültige Auflösungsformel ableiten: \[ \varphi(s)=\frac 1{k(s)}\left\{f(s)+\sum_{i=1}^{\infty}a_i\alpha_i(s)\right\}, \tag{**} \] wo \[ \alpha_i(s)=\int K(s,t)v_i(t)dt \] zu setzen ist.
Bei der Herleitung werden mehrere Sätze der Fredholmschen Theorie benutzt. Nunmehr werden umgekehrt mit Hilfe der oben gefundenen Lösung die wichtigsten dieser Sätze bewiesen (unter der Voraussetzung \(k(s)\equiv 1\)).
Satz 1. Wenn die Integralgleichung (*) eine quadratisch integrable Lösung hat, so ist \(\sum a_i^2\) konvergent. Wenn diese Reihe konvergiert, so ist \(\sum a_i\alpha_i (s)\) absolut und gleichmäßig konvergent.
Satz 2. Wenn \(\sum a_i^2\) divergiert, so hat die transponierte homogene Gleichung \(T(\chi)= 0\) wenigstens eine nichtverschwindende Lösung.
Satz 3. Wenn \(T(\chi) = 0\) keine von 0 verschiedene Lösung hat, so wird die Gleichung (*) durch die stetige Funktion (**) gelöst.
Satz 4. Wenn \(f(s)\) zu jeder Lösung von \(T(\chi)=0\) orthogonal ist, so konvergiert \(\sum a_i^2\), und die Gleichung (*) wird durch (**) gelöst.
Satz 5. Wenn \(T(\chi)=0\) eine zu \(f(s)\) nichtorthogonale Lösung besitzt, die durch lineare Kombination endlich vieler \(u_i(s)\) mit beliebiger mittlerer Genauigkeit dargestellt werden kann, so divergiert \(\sum a_i^2\).
Zum Schluß wird noch gezeigt, wie man auch die transponierte Gleichung in analoger Weise vermittels der oben eingeführten Funktionensysteme lösen kann. Außerdem wird der Fehler abgeschätzt, den man begeht, wenn man \(\varphi(s)\) durch eine Partialsumme von (**) approximiert.
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References:

[1] E. Schmidt, Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. Math. Annalen63 (1907), S. 459. · JFM 38.0377.02
[2] Vgl. E. Hecke, Math. Zeitschr.12 (1922), S. 279. · JFM 48.1249.02
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