Le calcul symbolique d’Heaviside. (French) JFM 52.0419.01

Lévy, P.

Bulletin sc. Math. (2) 50, 174-192 (1926).

Heaviside hat zu seinen bekannten symbolischen Methoden der Integration von Differentialgleichungen und der asymptotischen Entwicklung der Lösungen keine Beweise geliefert. Carson (vgl. das vorstehende Referat) hat die symbolische Methode durch die Betrachtung einer Integralgleichung ersetzt und aus dieser die Heavisideschen Ergebnisse (allerdings auch ohne strenge Beweise) hergeleitet. Verf. lehnt die Carsonsche Begründung als überflüssig ab und versucht, die symbolische Methode direkt zu rechtfertigen. Er muß jedoch hierzu manchmal Voraussetzungen über den analytischen Charakter der beteiligten Funktionen machen, die bei Carson nicht nötig sind.
Es werde mit \(I\) die Integration von 0 bis zur variablen oberen Grenze, mit \(I^n\) die \(n\)-fache Iteration dieses Prozesses bezeichnet. Für negatives \(n\) bedeute \(I^n\) Differentiation \(n\)-ter Ordnung.
Es liege nun die Differentialgleichung \[ a_0\frac{d^ny}{dt^n}+a_1\frac{d^{n-1}y}{dt^{n-1}}+\cdots +a_ny=f(t) \] vor. Setzt man mit Heaviside-Carson \[ \frac d{dt}=p=I^{-1}\quad \text{und}\quad a_0p^n+ a_1p^{n-1}+ \cdots + a_n = \varphi(p), \] so lautet die Gleichung \[ \varphi(p)[y] = f \] und ihre Lösung \[ y=\frac 1{\varphi(p)}[f], \] wo \(\dfrac 1{\varphi(p)}\) eine inverse Operation von \(\varphi(p)\) ist, d. h. \[ \varphi(p)\frac 1{\varphi(p)}[f]=f. \] Eine solche Operation erhält man durch Reihenentwicklung der gebrochen rationalen Funktion \(\dfrac 1{\varphi(p)}\) nach Potenzen von \(p^{-1}=I\): \[ \frac 1{\varphi(p)}=\overline{h}\left(\frac 1p\right)= \overline{h}(I)=c_nI^n+c_{n+1}I^{n+1}+\cdots . \] Sie liefert, auf \(f\) angewendet, die Lösung, die im Nullpunkt mit ihren \(n - 1\) ersten Ableitungen verschwindet.
Übrigens ist explicite \[ \frac 1{\varphi(p)}=\frac 1{\varphi(0)}+\sum_k\frac 1{\varphi'(p_k)p_k} \sum_{\nu=0}^\infty(p_kI)^\nu, \] wo die \(p_k\) die Wurzeln von \(\varphi\) sind. Daraus ergibt sich für \(f= 1\) als Lösung der Differentialgleichung: \[ h(t)=\frac 1{\varphi(0)} +\sum_k\frac{e^{p_kt}}{p_k\varphi'(p_k)}, \] und für beliebiges \(f\): \[ y(t)=\int\limits_0^t f(u)h'(t - u)\,du.\quad (\text{Bekannte klassische Lösung}.) \] \(h\) genügt der bei Carson im Mittelpunkt stehenden Integralgleichung \[ \int\limits_0^\infty e^{-pt}h(t)\,dt=\frac 1{p\varphi(p)}. \] Um die Heavisideschen asymptotischen Entwicklungen zu bekommen, muß man die lösende Operation nicht nach Potenzen von \(I\), sondern von \(I^{-1} = p\) entwickeln. Verf. zeigt an einem Beispiel, daß diese asymptotische Entwicklung manchmal ein andres Integral liefert als \(\dfrac 1{\varphi(p)}[f]\), indem nämlich noch ein Integral der homogenen Gleichung hinzutritt. Hieraus erklärt es sich, daß in der Heaviside-Entwicklung manchmal gewisse Glieder unterdrückt werden müssen, wenn sie die zuerst aufgestellte Lösung wiedergeben soll.
Die Methoden können auch auf partielle Differentialgleichungen angewendet werden. Beispiele: Schwingungsgleichung und Wärmeleitungsgleichung. (IV 9, 12.)

Reviewer: Doetsch, G., Prof. (Freiburg i. Br.)

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 7. Integralgleichungen. Funktionen unendlich vieler Veränderlicher. Funktionalanalysis.