Solution du problème de Riemann pour les systèmes différentiels linéaires du second ordre. (English) JFM 52.0440.03

Garnier, R.

Annales Ecole norm. (3) 43, 177-307 (1926).

Nach kurzer Übersicht über die von Riemann, Hilbert, Plemelj und Birkhoff beim Riemannschen Problem der Bestimmung einer Klasse Riemannscher Funktionssysteme aus der Monodromiegruppe erzielten Ergebnisse knüpft Verf. an die Arbeiten von Schlesinger; an. Dieser betrachtet (J. f. M. 129 (1906), 287-294; F. d. M. 37, 331 (JFM 37.0331.*)) ein “schlechthin kanonisches” Differentialsystem \[ \frac {dy_\nu}{dx}=\sum _{\mu=1}^my_\mu \sum _{k=1}^{n+2}\frac {A_{\mu \nu }^k}{x-t_k}\quad (\nu=1,\ldots,m) \] und findet als notwendige und hinreichende Bedingung für die Unabhängigkeit der Monodromiegruppe von den Variablen \(t_k\) das Bestehen eines gewissen nichtlinearen, vollständig integrierbaren partiellen Differentialsystems für die \(A_{\mu \nu }^k\) in Abhängigkeit von den \(t_k\). Seien von nun an \(t_{n+1}=0\), \(t_{n+2}=1\), \(t_{n+3}=\infty \) feste singulare Punkte, \(t_1,\ldots,t_n\) veränderlich. Geht man für den Fall \(m=2\) zu einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung (\(E_n\)) über, etwa für \(y_1\), so erhält diese zu den \(t_k\), noch \(n\) “scheinbar singuläre” Punkte \(\lambda _j\) (\(j = 1, 2,\ldots n\)). Verf. hat früher (Annales Ecole norm. (3) 29 (1912), 1-126, insbesondere 73-86; F. d. M. 43, 382 (JFM 43.0382.*)) ein partielles System für die \(\lambda _j\) aufgestellt. Er geht nunmehr zu einem andern System \((g_n, G_n)\) von partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung über (aus zwei Teilsystemen \((g_n)\), \((G_n)\) verschiedener Bauart bestehend); die abhängigen Veränderlichen \(z_k(t_1,\ldots,t_n)\) (\(k=1, 2,\ldots,n + 2\)) lassen sich sowohl vom (passend normierten) linearen Differentialsystem, wie von der Differentialgleichung zweiter Ordnung aus erklären; und zwar hat man \[ z_k=\frac {A_{21}^h}{\displaystyle \sum _{h=1}^{n+2}t_hA_{21}^h} =\frac {\psi (t_k)}{\varphi (t_k)}; \;\;\sum z_k=0; \;\;\sum z_kt_k=1; \]
\[ \varphi (x)=\prod _{j=1}^{n+2}(x-t_j);\;\;\psi (x)=\prod _{j=1}^n(x-\lambda _j). \] Es wird gezeigt, daß sich nach Lösung von \((g_n, G_n)\) die Lösungen der vorher genannten partiellen Systeme, wie auch die Koeffizienten von \((E_n)\) vollständig bestimmen lassen. Der Vorzug der \(z_k\) vor den \(\lambda _j\) besteht darin, daß sie im Gegensatz zu diesen feste kritische Punkte haben.
Der Kern der Arbeit ist nun die Diskussion der Lösungen von \((G_n)\) an den kritischen Punkten. Sei i ein fester unter den Indices \(1, 2,\ldots,n\); bei festgehaltenen Werten \(t_j\) (\(j\neq i\)) werden die \(z_k\) in der Umgebung einer Singularität \(t_i=t_j\), z. B. \(= 0\) (\(=t_{n+1}\)) untersucht. Sei \(T=\log \dfrac {t_i}{t_i^0}\) (\(t_i^0\) fest \(\neq 0\)), und \((R)\) ein Sektor \(\dfrac {\pi }{2}+\eta \leqq \text{arc }T\leqq \dfrac {3\pi }{2}-\eta \) (\(\eta >0\), beliebig klein). (Auf S. 181 der Einleitung ist \(-\dfrac {\pi }{2}\) offenbar durch \(+\dfrac {\pi }{2}\) zu ersetzen.) Durch (ziemlich verwickelte) Prozesse der schrittweisen Annäherung lassen sich nun auf jedem einzelnen Halbstrahl von \((R)\) Lösungen von \((G_n)\) gewinnen, für die bei \(T\to \infty \) (wobei dann \(t_i\to 0\) auf einer logarithmischen Spirale) mit (\(0\leqq \omega <1\)) entweder \(|t_i|^{1-\omega }|z_i|\) nach unten beschränkt (Charakteristiken erster Art) oder \(|t_i|^{-\omega }|z_i|\) nach oben beschränkt (Charakteristiken zweiter Art). Festgelegt werden diese Lösungen durch gewisse weitere Anfangs- und Grenzbedingungen, unter denen z. B. im zweiten Falle – wie später wichtig wird – vorkommt: \(z_{n+1}= z_{n+1}^0\) für \(t_i= t_i^0\), \(z_k\to z_k^0\) für \(t_i\to 0\) (\(k\neq i\), \(n+1\), \(n+2\)).
Von größter Wichtigkeit ist weiter, daß jede Lösung von \((g_n, G_n)\) auf einem Halbstrahl innerhalb \((R)\) durch eine Charakteristik dargestellt wird. Zum Beweis wird der Satz für \(n = 1\) einer früheren Arbeit entnommen (Annales Ecole norm. (3) 34 (1917), 239-353; F. d. M. 46, 667 (JFM 46.0667.*)), alsdann von \(n\) auf \(n+1\) geschlossen. Dies wird dadurch möglich, daß für \(t_n\to 1\) \((g_n, G_n)\) in gewissem Sinne in ein System \((g_{n-1}, G_{n-1})\) ausartet.
Die erhaltenen Sätze geben die Möglichkeit, die allgemeine Lösung von \((g_n, G_n)\) in ganz \((R)\) im Hinblick auf asymptotisches Verhalten und Werteverteilung zu studieren. So läßt sich z. B. \((R)\) derart in Einzelfaktoren zerlegen, daß auf jedem Strahl aus dem Inneren eines solchen \(z_k\) (\(k\neq i, n + 1\)) für \(T\to \infty \) einen endlichen Grenzwert hat, während parallel zu einer Begrenzungsrichtung Unbestimmtheit eintritt. Die Gleichung \(z_k = C\) hat (wenn \(C\) kein asymptotischer Wert ist) zwei Folgen von Lösungen, die sich diesen Richtungen mehr und mehr anschließen.
Im letzten Teil wird die Anwendung auf das eigentliche Riemannsche Problem gegeben. Bei gegebener Monodromiegruppe \(\mathfrak G_n\) kann das System \((g_n, G_n)\) aufgesetllt werden; alsdann hat die (nach Lösung von \((g_n, G_n)\) ebenfalls bekannte) Differentialgleichung zweiter Ordnung \((\mathfrak G_n)\) sicher eine von den \(t_i\) unabhängige Gruppe; es ist durch Auswahl der Lösung von \((g_n, G_n)\) zu sorgen, daß sie mit \(\mathfrak G_n\) identisch wird. Läßt man nun \(t_i\to 0\) gehen, so gelangt man von \((E_n)\) zu einer \((E_{n-1})\) mit einem singulären Punkte weniger, demgemäß zu einem System \((g_{n-1}, G_{n-1})\) welches das Riemannsche Problem für die Gruppe \(\mathfrak G_{n-1}\) löst, die durch Beiseitelassen des Punktes \(t_i\) aus \(\mathfrak G_n\) hervorgeht. Für \(\mathfrak G_{n-1}\) kann die Lösung induktiv als bekannt angenommen werden, da sie für \(n=0\) schon von Riemann gegeben ist (\(P\)-Funktion, hypergeometrische Differentialgleichung). Ihre Elemente \(z_k^0\) (\(k\neq i\), \(n+1\), \(n+2\)) fungieren jetzt als Bestimmungsgrößen zu einer Charakteristik zweiter Art für \((g_n, G_n)\) (s. oben); es ist nur noch \(z_{n+1}^0\) so hinzuzufügen, daß für \((E_n)\) auch noch die letzte, zu \(t_i\) gehörige Umlaufsmatrix die richtige wird; das läßt sich aber mit Hilfe der vorher gewonnenen Werteverteilungssätze in der Tat leisten.
Weitere Einzelheiten bietet die ausführlich und übersichtlich gehaltene Einleitung.

Reviewer: Schmidt, Hermann, Dr. (Jena).

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 9. Gewöhnliche Differentialgleichungen.

Citations:

JFM 37.0331.*; JFM 43.0382.*; JFM 46.0667.*