×

zbMATH — the first resource for mathematics

A boundary value problem for a system of ordinary linear differential equations of the first order. (English) JFM 52.0453.13
Die beiden Randwertaufgaben \[ \frac {dy_i}{dx}=\sum _{\alpha =1}^n \bigl[A_{i\alpha }(x) +\lambda B_{i\alpha }(x)\bigr] y_\alpha (x),\;\sum _{\alpha =1}^n \bigl[M_{i\alpha }y_\alpha (a) +N_{i\alpha }y_\alpha (b)\bigr]=0\tag{\(^*\)} \] und \[ \begin{aligned} & \frac {dz_i}{dx}=-\sum _{\alpha =1}^n \bigl[A_{i\alpha }(x) +\lambda B_{i\alpha }(x)\bigr] z_\alpha (x),\;\sum _{\alpha =1}^n \bigl[P_{\alpha i}z_\alpha (a) +Q_{\alpha i}z_\alpha (b)\bigr]=0 \tag{\(^{**}\)}\\ \noalign{\hfill \((i=1,2,\ldots,n)\)\vskip-\baselineskip} & \end{aligned} \] heißen zueinander adjungiert, wenn \(\displaystyle \sum _{\alpha =1}^n (M_{i\alpha }P_{\alpha k}-N_{i\alpha }Q_{\alpha k})=0\) ist. Das Problem (\(^*\)) heißt selbstadjungiert, wenn es durch eine lineare Transformation \(\displaystyle z_i=\sum _{\alpha =1}^n T_{i\alpha }(x)y_\alpha \) in das Problem (\(^{**}\)) übergeht. Das Problem (\(^*\)) heißt positiv selbstadjungiert, wenn die Matrix \(\displaystyle S_{\alpha \beta }(x)=\sum _{j=1}^n T_{j\alpha }B_{j\beta }\) folgende Eigenschaften besitzt: (1) Sie ist symmetrisch; (2) \(\displaystyle \sum _{\alpha,\beta }^n S_{\alpha \beta }(x)f_\alpha (x)\bar f_\beta (x)\geqq 0\); (3) Gilt \(\displaystyle \sum _{\alpha \beta }^n S_{\alpha \beta }(x)f_\alpha (x)\bar f_\beta (x)\equiv 0\), und sind die \(f_\alpha \) Lösungen eines Systems der Form \(\displaystyle f_\alpha '=\sum _{j=1}^n\bigl[A_{\alpha j}f_j +B_{\alpha j}g_j (x)\bigr]\), so folgt \(f_\alpha \equiv 0\) Verf. beschäftigt sich nun in der Hauptsache mit positiv selbstadjungierten Problemen (\(^*\)) und zeigt, daß viele Sätze aus der Theorie der Integralgleichungen mit symmetrischem Kern auch hier gelten, z. B: Alle Eigenwerte sind reell; die Anzahl der zu einem Eigenwert gehörenden, linear unabhängigen Eigenfunktionen ist gleich der Vielfachheit der entsprechenden Nullstelle der transzendenten Gleichung für die Eigenwerte; es existieren abzählbar unendlich viele Eigenfunktionen; es gilt der Entwicklungssatz.
Die Resultate des Verf. umfassen bisher nicht behandelte Fälle, so z. B. den wichtigen Fall, daß die Determinante der \(B_{i\alpha }\) verschwindet; anderseits umfassen sie nicht alle bereits behandelten Fälle von Aufgaben der Form (\(^*\)), Methodisch ist zu bemerken, daß schwierige asymptotische Entwicklungen vermieden werden und die Beweise in Analogie zu denen in der Theorie der linearen Integralgleichungen mit symmetrischem Kern verlaufen, ohne diese vorauszusetzen.

Subjects:
Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 10. Randwertaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen. Entwicklungssätze.
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI
References:
[1] E. Schmidt, Entwickelung willkürlicher Funktionen nach Systemen vorgeschriebener. Dissertation, Göttingen, 1905. · JFM 36.0461.03
[2] Bounitzky, Journal de Mathématiques, ser. 6, vol. 5 (1909), p. 65.
[3] Hildebrandt, these Transactions, vol. 19 (1918), p. 94.
[4] E. H. Moore, Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 18 (1912), p. 334.
[5] Schur, Mathematische Annalen, vol. 72 (1921), p. 213.
[6] Hurwitz, these Transactions, vol. 22 (1921), p. 526.
[7] Camp, American Journal of Mathematics, vol. 44 (1922), p. 25.
[8] Carmichael, American Journal of Mathematics, vol. 43 (1921), pp. 69, 232; vol. 44 (1922), p. 129; Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 28 (1922), p. 200.
[9] Birkhoff-Langer, Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences, vol. 58 (1923), p. 51. See also their abstract, Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 27 (1922), p. 236.
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.