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La méthode de Darboux et les équations \(s = f(x, y, z, p, q)\). (French) JFM 52.0472.03

54 p. Paris, Gautier-Villars (Mémorial des sciences mathématiques, fasc. 12) (1926).
In der “Anfangswerttheorie” partieller Differentialprobleme lautet die entscheidende Frage: Was kann man vorgeben? Man betrachtet das sogenannte Cauchysche Problem. Für die Gleichung \[ F(x, y, z, p, q, r, s, t) = 0 \] (in der üblichen Symbolik) besteht der Existenzsatz: Durch einen nichtcharakteristischen Streifen zweiter Ordnung geht genau eine Integralfläche. In diesem Falle erscheint also eine Kurve und längs ihr eine einparametrige Schar von Ebenen (Torse), welche (längs dieser Kurve) als Tangentialebenen der Integralfläche zu fungieren haben, vorgegeben. Damit ist für Verf. der Ausgangspunkt gegeben. So enthält Kapitel I die Theorie des Cauchyschen Problems und der Charakteristiken \(n\)-ter Ordnung. Die Integration der allgemeinen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung kann nach Darboux auf die eines Involutionssystems zurückgeführt werden, wenn es gelingt, die vorliegende Gleichung durch eine zweite \(n\)-ter Ordnung derart zu ergänzen, daß die Lösung des Systems beider noch von einer willkürlichen Funktion abhängt. Eine solche Forderung führt auf ein System zweier Bedingungsgleichungen für die “Ergänzungsfunktion” \(\varphi(x, y, z, p_{10}, \dots, p_{1, n-1}, p_{01}, \dots, p_{0n})\), und eine daraus bestimmte Funktion \(\varphi\) bildet mit der Ausgangsgleichung eine “Involution \(n\)-ter Ordnung” (\(\varphi = 0\)). Man spricht insbesondere von einer Invarianten \(n\)-ter Ordnung, wenn das Bedingungssystem identisch erfüllt ist (\(\varphi = c\) beliebige Konstante). Der Entwicklung dieser Begriffe ist Kapitel II gewidmet: Notwendige und hinreichende Bedingungen für die Existenz einer derartigen Invariante \(n\)-ter Ordnung, Verhalten einer solchen Invariante längs eines charakteristischen Streifens \(n\)-ter Ordnung usw. Damit ist man in Stand gesetzt, die Darbouxsche Integrationsmethode auszubauen (Kapitel III). Insbesondere reduziert sich die Lösung des Cauchyschen Problems auf die Integration eines Systems totaler Differentialgleichungen, sobald man je zwei Invarianten der beiden in Frage kommenden Involutionssysteme kennt (die eine der beiden Bedingungsgleichungen ist quadratisch). Dabei erweisen sich diejenigen Gleichungen, welche der Darbouxschen Methode zugänglich sind, identisch mit der Klasse derjenigen, welche (für mindestens eines der in Frage kommenden Systeme) zwei verschiedene Invarianten gestatten. Erst in Kapitel IV behandelt Verf. die Theorie der speziellen Gleichung \[ s = f(x, y, z, p, q). \] Die gewählte Spezialisierung gestattet eine eingehende Untersuchung der notwendigen Bedingungen für die Existenz einer Invarianten von höherer als zweiter Ordnung und berührt sich in der Aufgabe, alle Gleichungen \[ s = f(x, y, z, p, q) \] zu gewinnen, die eine Involution \(n\)-ter Ordnung gestatten, mit zahlreichen analogen Untersuchungen von Goursat (Leçons sur l’intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre II (Paris, 1896), p. 182-185, 174-178, 228, 278-280), Clairin (Bulletin sc. math. 29 (1905), 177-183; F. d. M. 36, 411 (JFM 36.0411.*)-412) und Gau (Thèse, 1911; F. d. M. 42, 389 (JFM 42.0389.*)-390).
Im abschließenden Kapitel V werden die Gleichungen \[ s = f (x, y, z, p, q) \] behandelt, die intermediäre Integrale erster Ordnung gestatten.
Besprechungen: A. Buhl, Enseignement 25, 158; L. Potin, Rev. générale des sc. 37, 616; Mathesis 40, 260; J. M. Thomas, Bulletin A. M. S. 34 (1928), 120; S. Zaremba, Annales Soc. Polonaise 4, 124.
Full Text: EuDML