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Das Hilbertsche Theorem über den analytischen Charakter der Lösungen der partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. (German) JFM 52.0480.05

Die Arbeit fußt auf einer älteren von S. Bernstein [Math. Ann. 59, 20–76 (1904; JFM 35.0354.01)], welcher einige Mängel derselben in der vorstehend besprochenen Korrespondenz mit Verf. richtiggestellt hatte. Dieser gibt nun hier im Einverständnis mit Bernstein eine neue ausführliche Darstellung von dessen Gedankengängen.
Es wird folgender Satz bewiesen: \(\varPhi(x, y, z, p, q, r, s, t)\) sei eine für eine gewisse Stelle \(x_0\), \(y_0\), \(z_0\), \(p_0\), \(q_0\), \(r_0\), \(s_0\), \(t_0\) verschwindende, in der Umgebung dieser Stelle analytische Funktion ihrer acht Argumente, \(z=\zeta(x, y)\) sei eine dreimal stetig derivierbare Lösung von \(\varPhi=0\) in der Umgebung des Punktes \((x_0, y_0)\), welche in diesem Punkte die Anfangswerte \(z_0,\ldots, t_0\) annimmt, für welche also \[ \zeta(x_0,y_0)=z_0,\ldots, \zeta_{yy}(x_0,y_0)=t_0 \tag{1} \] ist. Ist nun \[ 4(\varPhi_r)_0(\varPhi_t)_0-(\varPhi_s)_0^2>0, \] (wo \(\varPhi_r(x_0,\ldots, t_0) = (\varPhi_r)_0\) usw. gesetzt ist), so ist \(\zeta(x, y)\) in der Umgebung des Punktes \(x_0\), \(y_0\) analytisch.
Der Beweis verläuft folgendermaßen: Durch eine einfache Transformation läßt sich der allgemeine Fall auf den Spezialfall \[ (\varPhi_r)_0=(\varPhi_t)_0=1,\;(\varPhi_s)_0=0 \] zurückführen. Setzt man \[ f=r+t-\varPhi, \] so ist \(f\) in der Umgebung von \((x_0,\ldots, t_0)\) analytisch, und es gilt \[ \begin{aligned} & r_0+t_0=f(x_0,\ldots,t_0),\\ & (f_r)_0=(f_s)_0=(f_t)_0=0. \end{aligned} \] Nun wird gezeigt: Ist \(\zeta(x, y)\) eine beliebige, in der Umgebung von \(x_0\), \(y_0\) dreimal stetig derivierbare Funktion, und gilt (1), so gibt es bei hinreichend kleinem \(R\) eine in \((x-x_0)^2 + (y- y_0)^2 \leqq R\) analytische Lösung von \[ r+t = f(x, y, z, p, q, r, s, t), \tag{2} \] die auf dem Rande dieses Kreises mit \(\zeta(x, y)\) übereinstimmt. Es wird also für (2) die Randwertaufgabe im Kleinen gelöst; \(R\) hängt außer von \(f\) auch von \(\zeta\) ab. Ist diese Aufgabe gelöst, so folgt aus einem Unitätssatze, der im wesentlichen von A. Paraf herrührt [Toulouse Ann. 6, H1–H25 (1892; JFM 24.0366.03)]; insbesondere S. 50–52 der dort besprochenen Arbeit) die Identität von \(u\) und \(\zeta\), falls \(\zeta\) selbst Lösung von (2) war, und damit die Analytizität von \(\zeta\).
Die Lösung dieser Randwertaufgabe geschieht durch sukzessive Approximation: Es wird zuerst \(u_0\) als Lösung von \[ \varDelta u_0=f(x_0,y_0,\ldots, t_0) \] mit den gegebenen Randwerten bestimmt. Weiter setzt man \[ F_1=f\left(x,y,\frac{\partial u_0}{\partial x},\ldots, \frac{\partial^2 u_0}{\partial y^2}\right)-f(x_0,y_0,\ldots,t_0), \] bestimmt die auf dem Rande verschwindende Lösung von \(\varDelta v_1=F_1\) und setzt \(u_1=u_0+v_1\); allgemein ist \(u_n=u_0+v_1+ \ldots+v_n\) mit \(\varDelta v_n = F_n\) und \[ F_n = f\left(x,y,u_{n-1},\ldots,\frac{\partial^2u_{n-1}}{\partial y^2} \right)-f\left(x,y,u_{n-2},\ldots,\frac{\partial^2u_{n-2}}{\partial y^2} \right). \] Offenbar liefert dieser Prozeß, wenn gewisse Konvergenzforderungen erfüllt sind, in der Grenze eine Lösung von (2).
Das Werkzeug zur Führung dieser Konvergenzbeweise und zum Nachweis der Analytizität von \(u = \lim u_n\) sind die S. Bernsteinschen Normen. Die Nonnbildung ist eine Funktionaloperation, die gewissen in \((x- x_0)^2 + (y- y_0)^2 < R^2\) analytischen und auf dem Rande noch stetigen Funktionen \(F\) eine positive Zahl, die Norm, zuordnet, die mindestens gleich dem Maximum des Betrages von \(F\) in jenem Kreise ist. Funktionen, auf die die Normbildung anwendbar ist, heißen normal. Diese Operation wird zunächst durch sechs Postulate axiomatisch erklärt. Diese Postulate gestatten, bei jenen Konvergenzbeweisen immer aus der Normalität der vor dem \(n\)-ten Schritt aufgetretenen Funktionen \(u_{\nu}\), \(F_{\nu}\), \(v_{\nu}\) auf die von \(F_n\), \(v_n\), \(u_n\) und zuletzt auf die der Grenzfunktion zu schließen und die jeweiligen Normen abzuschätzen. Das bedeutendste dieser Postulate, das eben ermöglicht, das Hilbertsche Theorem in voller Allgemeinheit zu beweisen (im Gegensatz zu den mit schwächeren Hilfsmitteln durch E. Picard [Acta Math. 25, 121–138 (1901; JFM 32.0366.02)] u. a. bewiesenen, weniger weitgehenden Sätzen) besteht darin, daß man aus der Normalität von \(F\) auch noch Schlüsse auf die Norm der zweiten Ableitung von \(f\) ziehen kann, wenn \(f\) die auf dem Rande von \((x-x_0)^2+(y-y_0)^2\leqq R^2\) verschwindende Lösung von \(\varDelta f = F\) ist.
Der Beweis für die Existenz einer Funktionaloperation mit den geforderten Eigenschaften gelingt nur, indem sie explizit rechnerisch erklärt und das Erfülltsein jener Postulate nachträglich gezeigt wird.

MSC:

35-XX Partial differential equations
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